力扣 322.零钱兑换（动态规划问题）

力扣 322.零钱兑换（动态规划问题）

题目：
给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。
输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3
解释：11 = 5 + 5 + 1
动态规划问题解题一般分为
1、明确问题
2、转移方程
3、初始条件和边界情况
4、计算顺序
我们按照这个步骤来对这道算法题进行解答

一、明确问题（简化定义）

题目说的是用最少多少硬币拼出amount（就是11），那么明确最优策略下，最后一枚硬币只可能是coin[i]（i为coin数组下标）{就是1和2和5}，意思就是拼出最优解的最后一枚硬币一定是三种硬币中的一种，
那么因为是最优策略，所以必须让amount-coin[i]（11-coin[i]）最少。
那么问题就转化成了另一个问题：
最少用多少枚硬币可以拼出11-coin[i]
简化定义：
设状态f(x)=最少用多少枚硬币可以拼出x

• 如果coin[i]为1，那么f(11)=f(11-1)+1(最后加1是最后一枚硬币)
• 如果coin[i]为2，那么f(11)=f(11-2)+1
• 如果coin[i]为5，那么f(11)=f(11-5)+1

那么此时问题转换成了使得组成最后一枚硬币前面的硬币数量最少

二、转移方程

由上面可知现在问题转化成了
f(11)=min { f(11-1)+1,f(11-2)+1,f(11-5)+1}
f(11)为拼出11所需最少硬币数
f(11-1)为拼出10所需最少硬币数。。。

三、初始条件和边界情况

两个问题：：x-1,x-2,x-5小于0怎么办？什么时候使递归停下来？
如果不能拼出x，就定义f(x)=无穷，例如f(-1),f(-2)=无穷
所以f(1)=min{f(0)+1,f(-1)+1,f(-4)+1}
初始条件：f(0)=0
初始条件是转移方程算不出来的，只能通过自己定义，所以说边界条件很重要。

四、计算顺序

α为无穷

		f(0)	f(1)	f(2)	f(3)	f(4)	f(5)	f(6)	f(7)	f(8)
α	α	0	1	2	2	2