【组合数学/计算机数学】第五章 polya计数理论

zombo_tany

已于 2023-12-27 13:53:16 修改

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文章标签：算法

于 2023-12-24 11:15:46 首次发布

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博客围绕置换群与组合计数展开，包含置换复合计算、共轭类确定，以及三角形、正方形、正八面体等置换群的书写。还涉及人员访问城市、立方体着色、棋盘方格着色、球放入盒子等组合计数问题，给出不同情况下的方案数计算方法。

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1.

计算(123)(234)(5)(14)(23),并指出它的共轭类。
(123)置换可记为：
$\begin{pmatrix} 1&2&3&4&5\\2&3&1&4&5 \end{pmatrix}$
(234)(5)置换可记为：
$\begin{pmatrix} 1&2&3&4&5\\1&3&4&2&5 \end{pmatrix}$
(14)置换，同时(23)置换可记为：
$\begin{pmatrix} 1&2&3&4&5\\4&3&2&1&5 \end{pmatrix}$
三者复合（从右往左复合）
$\begin{pmatrix} 1&2&3&4&5\\2&3&1&4&5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2&3&4&5\\1&3&4&2&5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2&3&4&5\\4&3&2&1&5 \end{pmatrix} \\= \begin{pmatrix} 1&2&3&4&5\\2&3&1&4&5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2&3&4&5\\2&4&3&1&5 \end{pmatrix} \\= \begin{pmatrix} 1&2&3&4&5\\3&4&1&2&5 \end{pmatrix} \\=(13)(24)(5)$
只有1和3互换，2和4互换，为 $1^12^2$ 型置换
$1^12^2$ 型置换共 $\frac{5!}{2!1!1^12^2}=15$
其共轭类为
(1)(23)(45),(1)(24)(35),(1)(25)(34)
(2)(13)(45),(2)(14)(35),(2)(15)(34)
(3)(12)(45),(3)(24)(15),(3)(25)(14)
(4)(23)(15),(4)(12)(35),(4)(25)(13)
(5)(23)(14),(5)(24)(13),(5)(12)(34)

2.

写出三角形、正方形、正八面体的置换群

三角形：
1.不旋转， $\sigma_1=(1)(2)(3)$ , $1^3$ 型置换1个。
2.旋转60°或120°，对应 ${(123),(132)\}$ ， $3^1$ 型置换2个。
3.以其中一个点为顶点，另外两个点对撑，对应 ${(1)(23),(2)(13),(3)(12)\}$ ， $1^12^1$ 型置换3个。
三角形的置换群为
$G=\{(1)(2)(3),(123),(132),(1)(23),(2)(13),(3)(12)\}$

正方形：
1.不动置换。 $\sigma_1=(1)(2)(3)(4)$ , $1^4$ 型置换1个。
2.旋转90°或270°， ${(1234),(1432)\}$ , $4^1$ 型置换2个。
3.旋转180°， ${(13)(24)\}$ , $2^2$ 型置换1个。
4.以对边中点为轴翻转， ${(14)(23),(12)(34)\}$ , $2^2$ 型置换2个。
5.以对角线为轴翻转。 ${(1)(3)(24),(2)(4)(13)\}$ , $1^22^1$ 型置换1个。
正方形的置换群为
$G=\{(1)(2)(3)(4),(1234),(1432),(13)(24),(14)(23),(12)(34),(1)(3)(24),(2)(4)(13)\}$

正八面体：
1.不动置换。 $\sigma_1=(1)(2)(3)(4)(5)(6)$ , $1^8$ 型置换1个。
2.绕对点中心旋转90°或270°。 ${(1)(6)(2345),(1)(6)(2543),(2)(4)(1365),(2)(4)(1563),(3)(5)(1246),(3)(5)(1462)\}$ , $1^24^1$ 型置换6个。
3.绕对点中心旋转180°。 ${(1)(6)(24)(35),(2)(4)(16)(35),(3)(5)(16)(24)\}$ ， $1^22^2$ 型置换3个，
4.绕相对平面的中点旋转120°或240° ${(125)(346),(152)(364),(145)(236),(154)(263),(123)(456),(132)(465),(134)(265),(143)(256)\}$ $3^2$ 型置换8个。
5.绕对边中点旋转180°， ${(23)(45)(16),(25)(34)(16),(15)(36)(24),(13)(56)(24),(12)(46)(35),(14)(26)(35)\}$ , $2^3$ 型置换6个。
正八面体顶点的置换群为
$G=\{(1)(2)(3)(4)(5)(6),(1)(6)(2345),(1)(6)(2543),(2)(4)(1365),(2)(4)(1563),(3)(5)(1246),(3)(5)(1462),(1)(6)(24)(35),(2)(4)(16)(35),(3)(5)(16)(24),(125)(346),(152)(364),(145)(236),(154)(263),(123)(456),(132)(465),(134)(265),(143)(256),(23)(45)(16),(25)(34)(16),(15)(36)(24),(13)(56)(24),(12)(46)(35),(14)(26)(35)\}$

5.

有8个人计划去访问3个城市，其中有3个人是一家，另外有2个人是一家。如果一家人必须去同一个城市，问有多少种方案？写出它们的模式。
令 $D=\{d_1,d_2,...,d_8\}$ ,其中 $d_1d_2d_3$ 为一家， $d_4d_5$ 为一家， $D$ 分划为 ${d_1,d_2,d_3\},\{d_4,d_5\},\{d_6\},\{d_7\},\{d_8\}$
对 $d_1d_2d_3$ ，取 $a^3+b^3+c^3$ ,对 $d_4d_5$ ，取 $a^2+b^2+c^2$ ，对 $d_6,d_7,d_8$ ，取 $a + b + c$
总的模式表为 $a^3+b^3+c^3)(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)^3$
代入 $a = b = c = 1$ ,其值为总方案数 $3\times 3\times 3^3=243$

6.

对正立方体6个面用红、蓝、绿3种颜色进行着色，有多少种不同的方案？又问3种颜色各出现2次的着色方案有多少种？
正方体的面的置换群有：
1.不动置换， $1^6$ 型，一个。
2.绕相对平面中点转90°或270°， $1^24^1$ 型，6个。
3.绕相对平面中点转180°， $1^22^2$ 型，3个。
4.绕相对两顶点的连线转120°或240°， $3^2$ 型，8个。
5.绕相对两边中点连线转180°， $2^3$ 型，6个。

该置换群轮换指标为
$P_G(x_1,x_2,...,x_6)=\frac{1}{24}(x_1^6+6x_1^2x_4+3x_1^2x_2^2+8x_3^2+6x_2^3)$
计算不同方案数，代入 $x_1=x_2...=x_6=3$ ,
$l=P_G(3,3,3,3,3,3)=\frac{1}{24}(3^6+6\times 3^3+3\times 3^4+8\times 3^2+6\times 3^3)=57$
即有57种不同方案。
代入 $x_1=r+g+b,...,x_i=r^i+g^i+b^i$
$\frac{1}{24}((r+g+b)^6+6(r+g+b)^2(r^4+g^4+b^4)+3(r+g+b)^2(r^2+g^2+b^2)^2+8(r^3+b^3+g^3)^2+6(r^2+g^2+b^2)^3)$
$r^2g^2b^2$ 项系数： $\frac{1}{24}(\frac{6!}{2!2!2!}+3\times 6+6\times\frac{3!}{1!1!1!})=6$

7.

有一个 $3\times 3$ 的正方形棋盘，若用红蓝两色对这9个方格进行着色，要求两个为红色，其余为蓝色，问有多少种方案？

1	2	3
4	5	6
7	8	9

正方形棋盘的置换群有：
1.不动置换， $(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)$ , $1^9$ 型置换1种。
2.旋转90°或270°， $(1379) (2684) (5), (1973) (2486) (5)$ , $4^21^1$ 型置换2种
3.旋转180°， $(19) (37) (28) (46) (5)$ , $2^41^1$ 型置换1种。
4.沿对边中点翻转， $(13) (46) (79) (2) (5) (8), (17) (28) (39) (4) (5) (6)$ , $2^31^3$ 型置换2种。
5.沿对角线翻转， $(24) (37) (68) (1) (5) (9), (19) (24) (68) (3) (5) (7)$ , $2^31^3$ 型置换2种。
可以设红色为 $r$ ,蓝色为 $b$ ,求 $r^2b^7$ 系数。但因为只有两种颜色，可以简化为：红色为 $x$ ,蓝色为 $1$ ，求 $x^2$ 系数。
$P(x,1)=\frac 18[(x+1)^9+2(x^4+1)(x+1)+(x^2+1)^4(x+1)+4(x^2+1)^3(x+1)^3]$
$x^2$ 系数为：
$\frac 18[\binom{9}{2}+0+\binom{4}{1}+4(\binom{3}{1}\binom{3}{0}+\binom{3}{0}\binom{3}{2})] \\=\frac{1}{8}(36+4+4(3*1+3*1))=8$

12.

将两个相同的白球和两个相同的黑球放入两个不同的盒子里，问有多少种不同的方法？列出全部方案。每盒中有两个球的方法有多少种？
记白球为 $w_1w_2$ ,红球为 $r_1r_2$
则置换群为 $G=\{\sigma_1,(w_1w_2)(b_1)(b_2),(b_1b_2)(w_1)(w_2),(w_1w_2)(b_1b_2)\}$
一个 $1^4$ 型置换，2个 $2^11^2$ 型置换，1个 $2^2$ 型置换。
其轮换指标为
$P_G(x_1,x_2,x_3,x_4)=\frac 14(x_1^4+2x_2x_1^2+x_2^2)$
计数时，直接带入 $x_1=x_2=x_3=x_4=2$ ，因为有2个盒子。
方案数为： $P_G=\frac 14(2^4+2\times 2\times 2^2+2^2)=9$

计算具体每个盒子有几个球的方案时，记盒子1为 $a$ ,盒子2为 $b$ ,代入 $x_i=a^i+b^i$
$P_G(a+b,a^2+b^2,a^3+b^3,a^4+b^4)=a^4+2a^3b+3a^2b^2+2ab^3+b^4$
$a^2b^2$ 项系数为每个盒中有2个球的方案数。

12.魔改

把4个球a,a,a,b放入3个不同的盒子里，求分配方案数。若不允许有空盒，问有多少种方案？
令 $D=\{a_1,a_2,a_3,b\},R=\{c_1,c_2,c_3\}$ ，即把4个球放入3个不同的盒子的方法为： $F:D\to R$ ,由于 $a_1,a_2,a_3$ 是相同的球，由此确定出 $D$ 上的置换群
$G=\{\sigma_1,(a_1a_2),(a_1a_3),(a_2a_3),(a_1a_2a_3),(a_1a_3a_2)\}$
$1^4$ 型置换1个， $1^22^1$ 型置换1个， $3^11^1$ 型置换2个。
其轮换指标为 $P_G(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)=\frac 16(x_1^4+3x_1^2x_2+2x_1x_3)$
代入 $x_1=x_2=x_3=x_4=x_5=x_6=3$ ，
$l=P_G(3,3,3,3,3,3)=\frac 16(3^4+3\times 3^3+2\times 3^2)=30$
分配方案数为30。

若不允许空盒：
代入 $x_i=c_1^i+c_2^i+c_3^i$
$P_G(c_1+c_2+c_3,c_1^2+c_2^2+c_3^2,c_1^3+c_2^3+c_3^3,c_1^4+c_2^4+c_3^4,c_1^5+c_2^5+c_3^5,c_1^6+c_2^6+c_3^6) \\=\frac 16((c_1+c_2+c_3)^4+3(c_1+c_2+c_3)^2(c_1^2+c_2^2+c_3^2)+2(c_1+c_2+c_3)(c_1^3+c_2^3+c_3^3))$
不允许空盒的方案数为 $c_1^2c_2c_3,c_1c_2^2c_3,c_1c_2c_3^2$ 三项的系数和。
为 $\frac 16\times (3\times \binom{4}{2}\times \binom{2}{1}\times \binom{1}{1}+3\times 3\times \binom{2}{1})=9$
不允许空盒的方案有9种。