【算法笔记】关于二分法边界问题。

前言：

最近在学习算法，二分法是一个非常好的优化查找时间的方法，在列表有序的情况下，我们可以使用二分法加快查抄速率。虽然思路很简单，但是二分法很容易遇到边界问题，一不小心就会被边界卡住，做题的时候非常头疼。这里做一下小总结。PS：以下均为整数二分。

一：算法思路

二分法思路其实很简单，我们设置一个low指针指向有序数组的最低位置，high指针指向最高位置，然后将待查找的元素与（low+high)/2的位置比较。如果待查元素小于中间位置，那么就去右半边查找，否则就去左半边查找。（这是以为右半边元素肯定是大于这个中间元素的，以为数组元素有序，左半边亦然）

二：算法代码

2.1： 模板1

ps:完整代码会在最后面附上，这里只是代码片段。

		while(low<high){
			
			int mid = (low+high)/2;
			if(q[mid]>=a[i]){
				high = mid;
			}else{
				low = mid+1;
			}
		}

2.2： 模板2

		while(low<high){
			int mid = (low+high+1)/2;
			if(q[mid]<=x){
				low = mid;
			}else{
				high = mid-1;
			}
			
		}

关于上述代码的注意事项：

• 如果我们在修改的过程中，让low = mid那么一定要让low+high这里再加上一个1，则mid = (low+high+1)/2; 否则可能会导致死循环。这里可以自己推导以下，或者直接记住拉到。
• if(q[mid]>=a[i])这里的等于号，是我们可以自己修改的，有些题中这个等于号需要，有些题不需要。这也就变成了我们自己做题的时候需要注意的地方。下面讨论一下等于号加与不加的含义。

上面只是简单的给了俩个模板，下面分析一下这俩个模板的具体含义。包括等号的作用进行总结。

三： 算法演示

下这段代码是一段演示代码。就是定义了一个长度为12的数组，元素有序，但是有多个重复的5，来讨论一下等号的具体含义。

#include<iostream>
using namespace std;
int q[]={1,2,3,4,5,5,5,5,6,7,8,9,10};
int main(){
	int low = 0;
	int high = 9;
	
	while(1){
		float x;
		cin>>x;
		int low = 0;
		int high = 12;
		while(low<high){
			int mid = (low+high)/2;
			if(q[mid]>=x){
				high = mid;
			}else{
				low = mid+1;
			}
			
		}
		
		cout<<"low:"<<low<<"high:"<<high<<endl;
		
		 low = 0;
		high = 12;
		while(low<high){
			int mid = (low+high+1)/2;
			if(q[mid]<=x){
				low = mid;
			}else{
				high = mid-1;
			}
			
		}
		
		cout<<"low:"<<low<<"high:"<<high<<endl;
	}
	return 0;
}

3.1 加等号查找

我们将俩个模板都加上等号，查找5和5.5。运行看一下结果。（5为数组中存在的数，5.5不存在）
数组为：

int q[]={1,2,3,4,5,5,5,5,6,7,8,9,10};

• 对于查找到数组中存在的数来说：

  可以看到，第一段代码查找的是左边界。且是闭区间。第二段代码查找到的是最右边界。也是闭区间。

• 对于查找数组中原本不存在的数来说：

  可以看到，第一个模板查到的是最右边界，第二段代码查找的是最左边界。

3.2 不加等号查找

我们将俩个模板都去掉等号，查找5和5.5。运行看一下结果。（5为数组中存在的数，5.5不存在）

• 对于查找到数组中存在的数来说：

  可以看到，第一段代码查找的是右边界。且是开区间。第二段代码查找到的是最左边界。也是开区间。

• 对于查找数组中原本不存在的数来说：

  可以看到，第一个模板查到的是最右边界，第二段代码查找的是最左边界。

3.3 总结

可以看到，对于二分法而言，如果我们查找的是数组中本来就不存在的数字，那么加不加等号不影响结果。并且查找的结果永远都是，第一个模板是查找右开区间，第二个模板是左开区间。这里有一个自己的记忆方法：
如果是low = mid，那就是左开区间。
如果是high = mid,那就是右开区间。
（看最左边是low还是high)
但是如果我们要查找的数是数组中本来就有的，那么
加等号和不加等号中俩个模板的功能反过来了。首先可以确定的是，加等于号一定是尽可能的找到闭区间，而不加找到的是开区间。如果查找找的元素数组中原来就有且带等号，那么
low = mid找到的是右闭区间，high = mid是左开区间。

所以，在做二分的题目的时候，关键就是要取舍自己是否要加等号。加找到的是小于等于或者大于等于边界的位置，不加找到的一定是大于或者小于边界的位置。加等号后，俩个模板查找的功能就相反了。
low = mid变成右边界，high= mid是左边界。