试题 算法训练 方格取数

试题 算法训练 方格取数

问题描述
　　设有NN的方格图(N<=10),我们将其中的某些方格中填入正整数,而其他的方格中则放入数字0。
　　某人从图的左上角的A 点(1,1)出发，可以向下行走，也可以向右走，直到到达右下角的B点(N,N)。在走过的路上，他可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字0）。
　　此人从A点到B 点共走两次，试找出2条这样的路径，使得取得的数之和为最大。
输入格式
　　输入的第一行为一个整数N（表示NN的方格图），接下来的每行有三个整数，前两个表示位置，第三个数为该位置上所放的数。一行单独的0表示输入结束。
输出格式
　　只需输出一个整数，表示2条路径上取得的最大的和。
样例输入
　　8
　　2 3 13
　　2 6 6
　　3 5 7
　　4 4 14
　　5 2 21
　　5 6 4
　　6 3 15
　　7 2 14
　　0 0 0
样例输出
　　67

试题分析

本题的数据非常弱，不用考虑时间复杂度，哪怕是O(n^10)我觉得都不会超时，对于这种求路径的问题，一般是用DFS递归搜索，这题我觉得DFS也不会超时，不过我们还是用动态规划，因为本题要求走两次取得的数最大值，每一步的数都可以由上一步得出，对于走到第[i][j]步的数，可以由[i-1][j]或者[i][j-1]，再加上当前格子的数求出，毕竟每步只有两个选择。
求两条路的最大值，我们可以考虑让两个人一起走，每个人在每个格子都取最大值，那么总体自然就是取最大了
直接定义四维数组dp[i][j][m][n]，[i][j]表示一个人走的路径，[m][n]表示一个人走的路径，则动态规划方程为

dp[i][j][m][n] = max(max(dp[i-1][j][m-1][n],dp[i][j-1][m-1][n]),max(dp[i-1][j][m][n-1],dp[i][j-1][m][n-1]))+s[i][j]+s[m][n];

但是需要考虑两个人走重复的格子，那样就不能加两次了

if(i==m&&j==n) dp[i][j][m][n] -= s[i][j];

全部代码如下：

#include <iostream>


#define N 10

using namespace std;

int s[12][12] = {0};
int dp[12][12][12][12] = {0};

int main()
{
	int x;
	cin>>x;
	int a,b,c;
	do
	{
		cin>>a>>b>>c;
		s[a][b] = c;
	}while(a!=0||b!=0||c!=0);
	for(int i = 1;i<=x;i++)
	{
		for(int j = 1;j<=x;j++)
		{
			for(int m = 1;m<=x;m++)
			{
				for(int n = 1;n<=x;n++)
				{
					dp[i][j][m][n] = max(max(dp[i-1][j][m-1][n],dp[i][j-1][m-1][n]),max(dp[i-1][j][m][n-1],dp[i][j-1][m][n-1]))+s[i][j]+s[m][n];
					if(i==m&&j==n) dp[i][j][m][n] -= s[i][j];
				}
			}
		 } 
	}
	cout<<dp[x][x][x][x];
	return 0;
}