方格取数（动规例题）【1】

题目描述

 

设有N*N的方格图,我们将其中的某些方格中填入正整数,而其他的方格中则放入数字0。如下图所示（见样例）：

某人从图的左上角的A 点出发，可以向下行走，也可以向右走，直到到达右下角的B点。

在走过的路上，他可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字0）。

此人从A点到B 点共走两次，试找出2条这样的路径，使得取得的数之和为最大。

输入

第1行：1个整数N(N<=10)，表示N*N的方格图，

第2..?行：每行有3个整数，前2个表示某个方格的位置，第3个数为该位置上所放的数。

一行单独的0表示输入结束。

输出

第1行：1个整数，表示2条路径上取得的最大的和。

样例输入

8
2  3  13
2  6   6
3  5   7
4  4  14
5  2  21 
5  6   4
6  3  15
7  2  14
0  0  0

样例输出

67

解法1：

我们将两条路径假设是同时走的，那么就有：

设 f[k][x1][y1][x2][y2] 表示两条路径第k步时（假设起点为第2步），走到两点（x1，y1），（x2，y2）时的最优值（这两个点有可能相同）。我们发现，x1+y1==x2+y2==k，这样的话，y1、y2就没必要添加到状态中了，我们就可以把五维转三维了：f[k][x1][y1][x2][y2] ==> f[k][x1][x2]。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define maxn 10
using namespace std;
int n,a[maxn+10][maxn+10];
int f[maxn*2+10][maxn+10][maxn+10];
int main()
{
  int i,j,k,x,y;
  scanf("%d",&n);
  while(scanf("%d%d%d",&i,&j,&k),i!=0)a[i][j]=k;
  f[1][1][1]=a[1][1];
  for(k=2;k<n*2;k++)
    for(i=1;i<=k && i<=n;i++)
      for(j=1;j<=k && j<=n;j++)
        {
          if(i==j)x=a[i][k+1-i];
          else x=a[i][k+1-i]+a[j][k+1-j];
          
          y=max(f[k-1][i][j],f[k-1][i-1][j-1]);
          y=max(max(f[k-1][i][j-1],y),f[k-1][i-1][j]);
          
          f[k][i][j]=x+y;
        }      
  printf("%d\n",f[n*2-1][n][n]);        
  return 0;
}

解法2

这道题可以四重循环枚举两条路所走到的位置。然后判断i,j点，h,k点是由上或左得来最大值，sum[i,j,h,k]表示第一条道路走到i,j点，第二条走到h,k点时的最优值，显然i,j,h,k有2*2四种状态：

sum[i-1,j,h-1,k]

sum[i-1,j,h,k-1]

sum[i,j-1,h-1,k]

sum[i,j-1,h,k-1]

之后取这四种最优解的情况下，还要加上a[i,j]和a[h,k]——不过这是在i,j与h,k不相等的时候，如果相等则只用加一次即可。

var
        n,i,j,h,k,x,y,z:Longint;
        a:array[1..50,1..50] of Longint;
        f:array[0..50,0..50,0..50,0..50] of Longint;
function max(x,y:Longint):longint;
begin
        if x>y then exit(x) else exit(y);
end;
begin
        readln(n);
        readln(x,y,z);
        while (x<>0) and (y<>0) and (z<>0) do
        begin
                a[x,y]:=z;
                readln(x,y,z);
        end;
        for i:=1 to n do
                for j:=1 to n do
                        for h:=1 to n do
                                for k:=1 to n do
                                begin
                                        f[i,j,h,k]:=max(max((max(max(f[i,j-1,h,k-1],f[i,j-1,h-1,k]),f[i-1,j,h-1,k])),f[i-1,j,h,k-1]),f[i,j,h,k])+a[i,j];
                                        if (i<>h) and (j<>k) then f[i,j,h,k]:=f[i,j,h,k]+a[h,k];
                                end;
        writeln(f[n,n,n,n]);
end.