本文探讨了在模p意义下求解1至n范围内所有整数的乘法逆元问题，利用费马小定理和递推关系，提出了一种高效算法。通过分析p与i的关系，导出了递推公式，从而避免了逐个求解的低效方式。
题意
给定 n,p,n,p,n,p, 求 1∼n1∼n1∼n中所有整数在模 pp 意义下的乘法逆元。(p为质数)(p为质数)(p为质数)
题解
根据费马小定理，我们要一个一个求exgcdexgcdexgcd，显然太慢了
我们假设p=k×i+rp=k\times i+rp=k×i+r,那么有p(modi)=rp(modi)=rp(modi)=r且有
k×i+r≡0(mod p)k\times i+r\equiv 0(mod\ p)k×i+r≡0(mod p)同时乘上i−1,r−1i^{-1},r^{-1}i−1,r−1得到
k×r−1+i−1≡0(mod p)k\times r^{-1}+i^{-1}\equiv 0(mod\ p)k×r−1+i−1≡0(mod p)
整理得
−k×r−1≡i−1(mod p)-k\times r^{-1}\equiv i^{-1}(mod\ p)−k×r−1≡i−1(mod p)
(p(mod i))−1=r−1(p(mod\ i))^{-1}=r^{-1}(p(mod i))−1=r−1
k=⌊pi⌋k=\lfloor \frac{p}{i}\rfloork=⌊ip⌋
于是得到一个递推关系
−⌊pi⌋×(p(mod i))−1≡i−1(mod p)-\lfloor \frac{p}{i}\rfloor\times (p(mod\ i))^{-1}\equiv i^{-1}(mod\ p)−⌊ip⌋×(p(mod i))−1≡i−1(mod p)
inv[i]=inv[p%i]*(p-p/i)%p;
扫一扫
338
被折叠的 条评论
为什么被折叠?
到【灌水乐园】发言
