最优贸易 题解 c++实现

题目

题目描述
C 国有 n 个大城市和 m 条道路，每条道路连接这 n 个城市中的某两个城市。任意两个 城市之间最多只有一条道路直接相连。这 m 条道路中有一部分为单向通行的道路，一部分 为双向通行的道路，双向通行的道路在统计条数时也计为 1 条。

C 国幅员辽阔，各地的资源分布情况各不相同，这就导致了同一种商品在不同城市的价 格不一定相同。但是，同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。

商人阿龙来到 C 国旅游。当他得知同一种商品在不同城市的价格可能会不同这一信息 之后，便决定在旅游的同时，利用商品在不同城市中的差价赚回一点旅费。设 C 国 n 个城 市的标号从 1~ n，阿龙决定从 1 号城市出发，并最终在 n 号城市结束自己的旅行。在旅游的 过程中，任何城市可以重复经过多次，但不要求经过所有 n 个城市。阿龙通过这样的贸易方 式赚取旅费：他会选择一个经过的城市买入他最喜欢的商品——水晶球，并在之后经过的另 一个城市卖出这个水晶球，用赚取的差价当做旅费。由于阿龙主要是来 C 国旅游，他决定 这个贸易只进行最多一次，当然，在赚不到差价的情况下他就无需进行贸易。

假设 C 国有 5 个大城市，城市的编号和道路连接情况如下图，单向箭头表示这条道路 为单向通行，双向箭头表示这条道路为双向通行。 C 国有 n 个大城市和 m 条道路，每条道路连接这 n 个城市中的某两个城市。任意两个 城市之间最多只有一条道路直接相连。这 m 条道路中有一部分为单向通行的道路，一部分 为双向通行的道路，双向通行的道路在统计条数时也计为 1 条。 C 国幅员辽阔，各地的资源分布情况各不相同，这就导致了同一种商品在不同城市的价 格不一定相同。但是，同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。 商人阿龙来到 C 国旅游。当他得知同一种商品在不同城市的价格可能会不同这一信息 之后，便决定在旅游的同时，利用商品在不同城市中的差价赚回一点旅费。设 C 国 n 个城 市的标号从 1~ n，阿龙决定从 1 号城市出发，并最终在 n 号城市结束自己的旅行。在旅游的 过程中，任何城市可以重复经过多次，但不要求经过所有 n 个城市。阿龙通过这样的贸易方 式赚取旅费：他会选择一个经过的城市买入他最喜欢的商品——水晶球，并在之后经过的另 一个城市卖出这个水晶球，用赚取的差价当做旅费。由于阿龙主要是来 C 国旅游，他决定 这个贸易只进行最多一次，当然，在赚不到差价的情况下他就无需进行贸易。 假设 C 国有 5 个大城市，城市的编号和道路连接情况如下图，单向箭头表示这条道路 为单向通行，双向箭头表示这条道路为双向通行。

假设 1~n 号城市的水晶球价格分别为 4，3，5，6，1。 阿龙可以选择如下一条线路：1->2->3->5，并在 2 号城市以 3 的价格买入水晶球，在 3 号城市以 5 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为 2。 阿龙也可以选择如下一条线路 1->4->5->4->5，并在第 1 次到达 5 号城市时以 1 的价格 买入水晶球，在第 2 次到达 4 号城市时以 6 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为 5。

现在给出 n 个城市的水晶球价格，m 条道路的信息（每条道路所连接的两个城市的编号 以及该条道路的通行情况）。请你告诉阿龙，他最多能赚取多少旅费。

输入格式
第一行包含 2 个正整数 n 和 m，中间用一个空格隔开，分别表示城市的数目和道路的 数目。

第二行 n 个正整数，每两个整数之间用一个空格隔开，按标号顺序分别表示这 n 个城 市的商品价格。

接下来 m 行，每行有 3 个正整数，x，y，z，每两个整数之间用一个空格隔开。如果 z=1， 表示这条道路是城市 x 到城市 y 之间的单向道路；如果 z=2，表示这条道路为城市 x 和城市 y 之间的双向道路。

输出格式
共 1 行，包含 1 个整数，表示最多能赚取的旅费。如果没有进行贸易， 则输出 0。

样例数据

input
5 5
4 3 5 6 1
1 2 1
1 4 1
2 3 2
3 5 1
4 5 2

output
5

分析

这一题主要思路就是找到在一条路径上的最大最小值，将其相减就是所求的收益。需要注意的是，最大值需要在最小值之后，那么很容易想到从前往后一次dijkstra求出最小值，从后往前一次dijkstra求出最大值，但是，这样是有问题的。由于对于一个顶点加入集合之后，dijkstra就不再更新该节点，我们不妨看一下下面这种情况，其中加粗的为该点的价格。

其测试样例为

9 10 
4 3 2 1 5 7 8 9 6 
1 2 1 
2 3 1 
3 4 1 
4 2 1 
2 5 1 
5 6 1 
6 7 1 
7 8 1 
8 6 1 
6 9 1 

正确的输出应为8，但是正反两次dijkstra结果是6，这是由于1、2、3结点之间的更新出现一定问题，导致后续出现一定问题。那么这题可以采用正反两次SPFA算法就可以解决啦。以下是正确代码（在洛谷AC，且测试过一定的自己使用的样例）

#include <queue>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#define INF 1000000
#define N 1000005
using namespace std;
int dis1[N]={0},dis2[N]={0},vis[N];
vector<int> edge1[N],edge2[N];//分别是正向和反向建图
int n,m;//分别表示城市数和道路数
int price[N]={0};
void read()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>price[i];
    }
    int u,v,k;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        cin>>u>>v>>k;
        edge1[u].push_back(v);
        edge2[v].push_back(u);
        if(k>1)
        {
            edge1[v].push_back(u);
            edge2[u].push_back(v);
        } 
    }
}
void SPFA1()
{
    memset(dis1,INF,sizeof(dis1));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    queue<int>Q;
    Q.push(1);
    vis[1]=1;
    while(!Q.empty())
    {
        int temp=Q.front();
        Q.pop();
        dis1[temp]=min(dis1[temp],price[temp]);
        for(int i=0;i<edge1[temp].size();i++)
        {
            int v=edge1[temp][i];
            if(dis1[temp]<dis1[v])
            {
              dis1[v]=dis1[temp];
               if (!vis[v]) 
               {
                   vis[v]=1;
                   Q.push(v);
               }
            }   
        }
        vis[temp]=0; //关键步骤    
    }
}
void SPFA2()
{
    memset(dis2,0,sizeof(dis2));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    queue<int>Q;
    Q.push(n);
    vis[n]=1;
    while(!Q.empty())
    {
        int temp=Q.front();
        Q.pop();
        dis2[temp]=max(dis2[temp],price[temp]);
        for(int i=0;i<edge2[temp].size();i++)
        {
            int v=edge2[temp][i];
            if(dis2[temp]>dis2[v])
            {
                dis2[v]=dis2[temp];
                if (!vis[v]) 
                {
                    vis[v]=1;
                    Q.push(v);
                }
            } 
        }
        vis[temp]=0;
    }
}
int main()
{
    int res=0;
    read();
    SPFA1();
    SPFA2();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        res=max(res,dis2[i]-dis1[i]);
    }
    cout<<res<<endl; 
    system("pause");
    return 0;
}