命题逻辑＜3＞——范式

$\S 3$ 命题逻辑的范式

目的

在前一章节,已知任何命题公式都能通过逻辑等价关系简化,而不影响给定赋值下的运算结果,这样也就能考虑选出一个具有代表性的范式,来研究所有能转换到这个范式的命题公式的共性。

范式

定义3.1 文字 互补文字对

命题常元,命题变元及其否定统称为文字,一个命题常元$p$称为正文字,一个命题常元的否定$\neg p$称为负文字,一个命题常元$p$(或命题变元)以及其否定形式$\neg p$称为一对互补文字对。析取子句中含有互补文字对则为永真式,合取子句中含有互补文字对则为永假式。

定义3.2 析取子句 合取子句

文字或若干文字的析取称为析取子句,文字或若干文字的合取称为合取子句。

定义3.3 析取范式 合取范式

若$n$个命题变元的命题公式$A$,$C$满足以下所有条件:

1. $A\iff C$。
2. $C$为$A$中所有命题变元的合取子句的析取。

则称$C$为$A$的析取范式。
若$n$个命题变元的命题公式$B$,$D$满足以下所有条件:

1. $B\iff D$。
2. $D$为$B$中所有命题变元的析取子句的合取。

则称$D$为$B$的合取范式。
析取范式和析取范式统称为范式。

范式的构造方法

析取范式

按如下程序将命题公式$A$转换为逻辑等价的析取范式:

1. 利用蕴含等价式$A\to B\iff \neg A\vee B$消去蕴含联结词$\to$;
2. 利用双向蕴含等价式$\left(A\leftrightarrow B\right)\iff \left(A\to B\right)\wedge \left(B\to A\right)$消去双向蕴含联结词$\leftrightarrow$;
3. 利用德摩根律$\neg \left(A\vee B\right)\iff \neg A\wedge \neg B$;$\neg \left(A\wedge B\right)\iff \neg A\vee \neg B$将否定联结词向内移动,直至作用于合取子句内的单个文字上;
4. 利用双重否定律$A\iff \neg \neg A$保证每个变元前只有一个否定联结词。
5. 利用分配律$A\wedge \left(B\vee C\right)\iff \left(A\wedge B\right)\vee \left(A\wedge C\right)$,进一步化为析取范式。

合取范式

按如下程序将命题公式$A$转换为逻辑等价的合取范式:

1. 利用蕴含等价式$A\to B\iff \neg A\vee B$消去蕴含联结词$\to$;
2. 利用双向蕴含等价式$\left(A\leftrightarrow B\right)\iff \left(A\to B\right)\wedge \left(B\to A\right)$消去双向蕴含联结词$\leftrightarrow$;
3. 利用德摩根律$\neg \left(A\vee B\right)\iff \neg A\wedge \neg B$;$\neg \left(A\wedge B\right)\iff \neg A\vee \neg B$将否定联结词向内移动,直至作用于析取子句内的单个文字上;
4. 利用双重否定律$A\iff \neg \neg A$保证每个变元前只有一个否定联结词。
5. 利用分配律$A\vee \left(B\wedge C\right)\iff \left(A\vee B\right)\wedge \left(A\vee C\right)$,进一步化为合取范式。

定理3.1 范式存在定理

任一命题公式均存在逻辑等价的合取范式与析取范式。

主范式

定义3.4 主范式

若$A$的析取范式$C$中,每个合取子句有$n$个命题变元 { p 1 , p 2 , … , p i , … , p n ∣ i , n ∈ N + , 1 ≤ i ≤ n } \left \{ p_{1},p_{2},\dots, p_{i},\dots , p_{n} \mid i,n\in \mathbb{N^{+},1\le i \le n } \right \} {p1​,p2​,…,pi​,…,pn​∣i,n∈N+,1≤i≤n},每个命题变元$p_i$都恰好只出现一次,则称$C$为$A$的主析取范式。
若$B$的合取范式$D$中,每个析取子句有$n$个命题变元 { p 1 , p 2 , … , p i , … , p n ∣ i , n ∈ N + , 1 ≤ i ≤ n } \left \{ p_{1},p_{2},\dots, p_{i},\dots , p_{n} \mid i,n\in \mathbb{N^{+},1\le i \le n } \right \} {p1​,p2​,…,pi​,…,pn​∣i,n∈N+,1≤i≤n},每个命题变元$p_i$都恰好只出现一次,则称$B$为$D$的主合取范式。
析取主范式和析取主范式统称为主范式。

主范式的性质

1. 主范式确保了范式的唯一性,以主范式为中心,可以构造给定主范式的等价类,等价类中所有命题公式都与主范式逻辑等价,且具有相同的弄真指派和弄假指派。
2. 永真式不存在主合取范式,规定永真式的主合取范式为$T$。
3. 永假式不存在主析取范式,规定永假式的主析取范式为$F$。
4. 设命题公式$A$有$n$个命题变元,则能构成$2^n$的析取子句(合取子句),选取析取子句(合取子句)构成主析取范式(主合取范式),共有${\sum }_{k=1}^{2^n}{C}_n^k=2^{2^n}$种选择。
5. 一个析取主范式永假,当且仅当其所有合取子句永假。
6. 一个合取主范式永真,当且仅当其所有析取子句永真。

主范式的构造方法

<1>主析取范式
按如下程序将命题公式$A$的析取范式转换为逻辑等价的主析取范式$C$:

1. 以析取范式中每个析取联结词$\vee$为界限划分合取子句;
2. 对当前合取子句中的文字按下标数字从小到大排序;
3. 检查当前合取子句是否包含所有$A$的命题变元;
4. 若无缺失编号,则跳过当前的合取子句,检查后一个合取子句;
5. 若有缺失编号,则将缺失的最小编号标记为$i(i\in {\mathbb{N}}^{+},1\le i\le n)$;
6. 在当前合取子句$A_j(j\in {\mathbb{N}}^{+},1\le j\le 2^n)$末尾合取真命题$T$,利用排中律$p_i\vee \neg p_i\iff T$添加缺失的命题变元$p_i$;
7. 利用分配律$A_j\wedge \left(p_i\vee \neg p_i\right)\iff \left(A_j\wedge p_i\right)\vee \left(A_j\wedge \neg p_i\right)$,将$p_i$和$\neg p_i$并入新的合取子句中。
8. 利用恒等律$A\wedge T\iff A$;$A\vee F\iff A$,同一律$A\wedge F\iff F$;$A\vee T\iff T$,排中律$A\vee \neg A\iff T$,矛盾律$A\wedge \neg A\iff F$化简范式。
9. 循环以上步骤2~7,当析取范式中的所有合取子句都包含所有$n$个命题变元时,程序结束,所得公式$C$为$A$的主析取范式。

<2>主合取范式
按如下程序将命题公式$A$的合取范式转换为逻辑等价的主合取范式$D$:

1. 以合取范式中每个合取联结词$\wedge$为界限划分析取子句;
2. 对当前析取子句中的文字按下标数字从小到大排序;
3. 检查当前析取子句是否包含所有$A$的命题变元;
4. 若无缺失编号,则跳过当前的析取子句,检查后一个析取子句;
5. 若有缺失编号,则将缺失的最小编号标记为$i(i\in {\mathbb{N}}^{+},1\le i\le n)$;
6. 在当前析取子句$A_j(j\in {\mathbb{N}}^{+},1\le j\le 2^n)$末尾析取假命题$F$,利用矛盾律$p_i\wedge \neg p_i\iff F$添加缺失的命题变元$p_i$;
7. 利用分配律$A_j\vee \left(p_i\wedge \neg p_i\right)\iff \left(A_j\vee p_i\right)\wedge \left(A_j\vee \neg p_i\right)$,将$p_i$和$\neg p_i$并入新的析取子句中。
8. 利用恒等律$A\wedge T\iff A$;$A\vee F\iff A$,同一律$A\wedge F\iff F$;$A\vee T\iff T$,排中律$A\vee \neg A\iff T$,矛盾律$A\wedge \neg A\iff F$化简范式。
9. 循环以上步骤2~7,当合取范式中的所有析取子句都包含所有$n$个命题变元时,程序结束,所得公式$D$为$A$的主合取范式。

极小项与极大项

设命题公式$A$有$n$个命题变元,主合取范式为$C$,主析取范式为$D$。
已知$A\iff C$,$A\iff D$,则$A$,$C$,$D$都在同一个等价类内,由于$A$归属的等价类的成真赋值和成假赋值已经完全确定,所以主范式的唯一性证明思路是从给定命题公式$A$的成真赋值和成假赋值出发,构造唯一的主范式。

定义3.5 极小项 极大项

设合取子句有$n$个命题变元,若在合取子句中,每个命题变元对应的正负文字恰好都出现过一次,且只出现一次,而且所有文字按照下标$i\in \left[1,n\right]$,$i\in {\mathbb{N}}^{+}$从小到大排序或字典排序,则称这样的合取子句为极小项,记为$m_i$,
主析取范式是极小项的析取范式。
设合取子句有$n$个命题变元,若在析取子句中,每个命题变元对应的正负文字恰好都出现过一次,且只出现一次,而且所有文字按照下标$i\in \left[1,n\right]$,$i\in {\mathbb{N}}^{+}$从小到大排序或字典排序,则称这样析取子句为极大项,记为$M_i$。
主合取范式是极大项的合取范式。

定理3.2

$n$个命题变元$\left(p_1,p_2,\cdots ,p_i,\cdots ,p_n\right)$对应的极小项$m_i$和极大项$M_i$满足$\neg m_i\iff M_i$,$m_i\iff \neg M_i$。

定理3.3 主范式的唯一性

任何命题公式的主析取范式和主合取范式都存在,且具有唯一性。
$A$为永真式或永假式的情形过于平凡,略。
<1>主析取范式的唯一性
按如下流程从成真赋值构造主析取范式:

1. 列出命题公式$A$的真值表,找出所有的成真赋值;
2. 找出一组成真赋值 α = ( α 1 , α 2 , ⋯   , α i , ⋯   , α n ) ( i , n ∈ N + , 1 ≤ i ≤ n , α i ∈ { 0 , 1 } ) \alpha=\left ( \alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{i},\cdots ,\alpha _{n} \right )( i,n\in \mathbb{N^{+},1\le i \le n },\alpha _{i}\in \left \{ 0,1 \right \} ) α=(α1​,α2​,⋯,αi​,⋯,αn​)(i,n∈N+,1≤i≤n,αi​∈{0,1})和对应的命题变元$\left(p_1,p_2,\cdots ,p_i,\cdots ,p_n\right)$;
3. 将成真赋值$\alpha =\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_i,\cdots ,{\alpha }_n\right)$表示为$n$位二进制数${\alpha }_1{\alpha }_2\dots {\alpha }_i\dots {\alpha }_n$,二进制数的第$i$位表示对应的赋值${\alpha }_i$;
4. 若二进制数的第$i$位等于1,则正文字$p_i$出现在极小项$m_i$中,若二进制数的第$i$位等于0,则负文字$\neg p_i$出现在极小项$m_i$中,由此得到的$n$个命题变元或命题变元的否定,合取即为一个极小项$m_i$;
5. 析取每个成真赋值对应的极小项$m_i$,组成命题公式$A$的主析取范式。

<2>主合取范式的唯一性
按如下流程从成假赋值构造主合取范式:

1. 列出命题公式$A$的真值表,找出所有的成假赋值;
2. 找出一组成假赋值 α = ( α 1 , α 2 , ⋯   , α i , ⋯   , α n ) ( i , n ∈ N + , 1 ≤ i ≤ n , α i ∈ { 0 , 1 } ) \alpha=\left ( \alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{i},\cdots ,\alpha _{n} \right )( i,n\in \mathbb{N^{+},1\le i \le n },\alpha _{i}\in \left \{ 0,1 \right \} ) α=(α1​,α2​,⋯,αi​,⋯,αn​)(i,n∈N+,1≤i≤n,αi​∈{0,1})和对应的命题变元$\left(p_1,p_2,\cdots ,p_i,\cdots ,p_n\right)$;
3. 将成假赋值$\alpha =\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_i,\cdots ,{\alpha }_n\right)$表示为$n$位二进制数${\alpha }_1{\alpha }_2\dots {\alpha }_i\dots {\alpha }_n$,二进制数的第$i$位表示对应的赋值${\alpha }_i$;
4. 若二进制数的第$i$位等于1,则正文字$p_i$出现在极大项$M_i$中,若二进制数的第$i$位等于0,则负文字$\neg p_i$出现在极大项$M_i$中,由此得到的$n$个命题变元或命题变元的否定,析取即为一个极大项$M_i$;
5. 合取每个成假赋值对应的极大项$M_i$,组成命题公式$A$的主合取范式。

真值函数

定义3.6 真值函数

以逻辑联结词为运算符,定义域,值域均为$B$的函数称为真值函数,每个给定的真值函数$F\left(p_1,p_2,\dots ,p_i,\dots ,p_n\right)$,$1\le i\le n$都有唯一的等价类与之一一对应,使得给定的真值函数与相应的等价类中的每个公式(尤其是主范式)都等值。