Corral the Cows（二分、前缀和、离散化）

最新推荐文章于 2022-08-04 11:26:59 发布

短尾黑猫

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文章标签：算法数据结构

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本文介绍了如何运用前缀和和离散化的方法解决一个关于正方形畜栏最小边长的算法问题。通过离散化坐标并预处理前缀和，可以高效地在O(1)时间内求出特定区间三叶草数量。结合二分查找，找到满足至少C单位三叶草的最小边长，整体时间复杂度为O(n*n*log10000)。

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题面：Corral the Cows【牛客】

题目大意

有 $n$ 个单位的三叶草，每单位三叶草占据一个 $1 \times 1$ 的土地，每块土地的位置由其左下角的下标确定，并且下标 $x$ 和 $y$ 都是整数，且 $1\leq x,y\leq10000$ 。

农夫约翰希望为他的奶牛们建立一个畜栏。其中畜栏必须是正方形，且至少要包含 $C$ 单位的三叶草。

要求出至少包含 $C$ 单位的三叶草情况下，畜栏的最小边长。

注意：每个区域可能会有多个单位的三叶草，所以输入的时候，可能会出现多个相同区域坐标。

思路

前缀和、离散化思路：

可以很明显地想到用前缀和去维护每个二维区间的三叶草数量，预处理后，可以在 $O (1)$ 的时间复杂度下求出某个区间的三叶草数量。

因为坐标的范围是 $[1, 10000]$ ，直接开二维数组暴力遍历的情况是不现实的，于是要进行坐标的优化。
观察题面 $n\leq500$ ，可以知道 $x, y$ 的所有坐标离散化到一个数组后，数组的元素个数最大也只有 $1000$ 。于是我们可以离散化所有的坐标，并存储到一个数组里，再用这个数组进行前缀和的计算，这样复杂度就大大降低了。

二分思路：

由于要求的是最小的边长，很容易想到可以将问题转化成二分答案的问题。

若 $m i d$ 范围内的所有区间的三叶草数量都小于 $C$ ，说明 $m i d$ 是不够长的，则取右半边更大的数，否则取左半边的数。

在检查每个区间草的总数的时候，可以先遍历横坐标，使得 $x_2-x_1\ge mid$ ，确定好 $x_1,x_2$ 后，再遍历纵坐标，使得 $y_2-y_1\ge mid$ 。（其中 $x_1,y_1$ 是第一个不在区间长度为 $m i d$ 里的数，且 $x_1,y_1)$ 是左下角的坐标， $x_2,y_2)$ 是右上角的坐标）

确定好坐标之后，进行三叶草总数的计算并判断是否满足条件。

最终时间复杂度为 $O(n*n*log\ 10000)$ ，其中 $n$ 为离散化后数组的长度。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define sc scanf
#define pf printf
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 1e3 + 10;
int n, C;
PII points[N];
vector<int> st;
int sum[N][N];

int get(int x)
{
    return lower_bound(st.begin(), st.end(), x) - st.begin();
}

bool check(int len)
{
    for(int x1 = 0, x2 = 1; x2 < st.size(); x2 ++) {
        while(st[x2] + 1 - st[x1 + 1] > len) x1++;
        for(int y1 = 0, y2 = 1; y2 < st.size(); y2++) {
            while(st[y2] + 1 - st[y1 + 1] > len) y1++;
            if(sum[x2][y2] - sum[x1][y2] - sum[x2][y1] + sum[x1][y1] >= C)
                return true;
        }
    }
    return false;
}

int main()
{
    sc("%d %d", &C, &n);
    st.push_back(0);
    for(int i = 0; i < n; i ++) {
        int x, y;
        sc("%d %d", &x, &y);
        points[i] = {x, y};
        st.push_back(x);
        st.push_back(y);
    }
    sort(st.begin(), st.end());
    st.erase(unique(st.begin(), st.end()), st.end());
    
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        int x = get(points[i].first), y = get(points[i].second);
        sum[x][y] ++;
    }
    
    for(int i = 1; i < st.size(); i++)
        for(int j = 1; j < st.size(); j++)
            sum[i][j] += sum[i - 1][j] + sum[i][j - 1] - sum[i - 1][j - 1];
        
    int l = 1, r = 10000;
    while(l < r) {
        int mid = l + r >> 1;
        if(check(mid))  r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    pf("%d\n", r);
    return 0;
}