Visible Lattice Points（可见的点）

最新推荐文章于 2022-02-17 21:09:43 发布

短尾黑猫

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文章标签：算法欧拉函数

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博客探讨了在[0,n]区域内，正方形边界的可见点问题，其中可见点定义为与原点构成的线段不与任何其他点相交。通过分析发现，可见点满足条件x≠y且gcd(x,y)=1，利用欧拉函数可以解决。解决方案重点在于考虑下半部分，因为上下对称，只需计算对于∀y∈[2,n]，满足1≤x<y，x与y互质的点数Φ(y)。" 81264954,1345587,深度学习：指数加权平均与偏差修正,"['深度学习', '机器学习', '算法']

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原题题面：Visible Lattice Points

思路：

分析题面，可以发现，其中给出的 $n$ ，在平面直角坐标系上，由点 $\in[0, n]$ 围城的平面图形是一个正方形。由此可以看出 $(0, 0)$ 、 $(0, 1)$ 和 $(1, 1)$ 是必然可以被看到的，排除这三点之后，边界的情况就可以忽略了。
而其他点能被发现，（即不会与除自己以外的点与原点构成的线段撞车），当且仅当 $1\leq x, y\leq n$ , $x\ne y$ ，and $g c d (x, y) = 1$ （即 $x$ 与 $y$ 互质），由此，我们不难想到要利用欧拉函数。
可以发现，以函数 $y = x$ 为分界线，上下两部分的点是对称的，于是我们只要考虑其中的一部分就行。以下半部分为例，我们要考虑对于 $\forall y\in[2, n],(y \in N*)$ ，有多少个 $x$ 是满足当 $1\leq x<y$ 时， $x$ 与 $y$ 互质，而这些数量恰好为 $\Phi(y)$ 。

代码如下：

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 1e3 + 10;

int primes[N], cnt;
bool st[N];
int phi[N];

//筛法求欧拉函数
void eulers(int n)
{
    for(int i = 2; i <= n; i++)
    {
        if(!st[i])
        {
            primes[cnt ++] = i;
            phi[i] = i - 1;
        }
        for(int j = 0; primes[j] <= n / i; j++)
        {
            st[i * primes[j]] = true;
            phi[primes[j] * i] = phi[i] * (i % primes[j] ? primes[j] - 1 : primes[j]);
            if(i % primes[j] == 0)  break;
        }
    }
}

int main()
{
    int t;
    cin >> t;
    
    eulers(N);
    
    for(int i = 1; i <= t; i++)
    {
        int n;
        cin >> n;
    
        LL count = 0;
        for(int i = 2; i <= n; i++) count += phi[i];
        
        cout << i << " " << n << " " << 2 * count + 3 << endl;
    }
    return 0;
}