余数之和（数论、数学题）

题目描述

给出正整数n和k，计算j(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + … + k mod n的值。

例如j(5, 3)=3 mod 1 + 3 mod 2 + 3 mod 3 + 3 mod 4 + 3 mod 5=0+1+0+3+3=7。

输入格式

输入仅一行，包含两个整数n, k。

输出格式

输出仅一行，即j(n, k)。

数据范围

1≤n,k≤1e9

输入样例

5 3

输出样例

7

思路：

这题，纯数学题。
已知 $$kmodi=k-\lfloor k/i\rfloor \ast i$$
所以：$$\sum _{i=1}^{n}kmodi=n\ast k-\sum _{i=1}^n\lfloor k/i\rfloor \ast i$$
由此可以看出，我们必须将 ${\sum }_{i=1}^n\lfloor k/i\rfloor \ast i$ 进行简化计算。
$\lfloor k/i\rfloor$ 随着 $i$ 的递增，是一个递减的趋势，也就是一个单调递减的性质。
对于任意的整数 $l\in [1,k]$，设 $r=\lfloor k/\lfloor k/l\rfloor \rfloor$
又$\lfloor k/l\rfloor \le (k/l)$
显然有 $r\ge \lfloor k/(k/l)\rfloor =x$，所以，$\lfloor k/r\rfloor \le \lfloor k/l\rfloor$。
又因为，$\lfloor k/r\rfloor \ge \lfloor k/(k/\lfloor k/l\rfloor )\rfloor =\lfloor k/k\ast \lfloor k/l\rfloor \rfloor =\lfloor k/l\rfloor$
所以：$\lfloor k/r\rfloor =\lfloor k/l\rfloor$。
并且对于任意的 $i\in [l,\lfloor k/\lfloor k/l\rfloor \rfloor ]$，$\lfloor k/i\rfloor$的值都相等，图像为一段平行于x轴的线段。这样，我们就可以将循环的范围进行缩小，优化了效率。

接下来证明一下循环的范围。

$\forall i\in [1,k]$

1. 当 $i\le \sqrt{k}$ 时，$i$ 为 $1\Rightarrow \sqrt{k}$ 的整数，所以$\lfloor k/i\rfloor$最多只有$\sqrt{k}$个不同的值。
2. 当 $i>\sqrt{k}$ 时，$\lfloor k/i\rfloor <\sqrt{k}$，又因为$\lfloor k/i\rfloor$是向下取整，故$\lfloor k/i\rfloor$也最多只有 $\sqrt{k}$ 个不同的取值。

所以，$\lfloor k/i\rfloor$至多只有 $2\sqrt{k}$ 个不同的值。
综上所述，对于$i=[1,k]$，$\lfloor k/i\rfloor$由不超过$2\sqrt{k}$不同的值段组成，每一段的值都相等。

所以对于每一段${\sum }_{i=l}^r\lfloor k/i\rfloor \ast i$ 可以简化成 $\lfloor k/l\rfloor \ast {\sum }_{i=l}^{r}i$。
而${\sum }_{i=l}^{r}i$ 是一个等差数列求和，代代求和公式就可求出。

算法设计：

1. 先让 $l=1$，再计算出求和的上界 $r$，最后代公式计算整段的值
2. 更新每段的段首，即 $l=r+1$
3. 重复1、2步，直到取完所有的可选段，即当 $k/l$ 为零的时候，上界就取完了。

注意数据范围，可能会炸int，所以索性全开long long 了。
注意一下上界只能取到右端点n，如果大于n，这段值为零是没有贡献的，所以得判断一下$\lfloor k/\lfloor k/l\rfloor \rfloor$ 与 $n$ 的大小关系，上界取min

代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;

LL n, k, res;

int main()
{
    cin >> n >> k;
    res = n * k;
    for(int l = 1, r; l <= n; l = r + 1)
    {
        //判断上界是否为0,如果为0,则说明取到无值贡献的段了,可以直接break掉,也可以让r等于右端点n。
        r = k / l ? min(k/(k/l), n) : n;
        //(l + r) * (r - l + 1) / 2 是等差数列求和
        res -= (k/l) * (l + r) * (r - l + 1) / 2;
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}