剑指（33）：二叉搜索树的后续遍历序列

题目描述：

输入一个整数数组，判断该数组是不是某二叉搜索树的后序遍历结果。
如果是则返回 true，否则返回 false。假设输入的数组的任意两个数字都互不相同。

解题思路：

方法一：单调栈法O(n)（比较巧，初次接触会不太好理解，对照图来看，一定能看懂！）

• 首先我们知道后续遍历序列为：[ 左 | 右 | 根 ] —>

• 现在将后续遍历倒过来，即后序遍历的倒序为：[ 根 | 右 | 左 ] <—

  • 是不是有点类似 先序遍历 的镜像 ；即先序遍历为 根、左、右 的顺序，而后序遍历的倒序为 根、右、左 顺序。

• 那我们就仿照按照先序遍历的思想：后续遍历的倒序遍历思想为：先遍历根，再遍历右，最后遍历左

• 所以：

  • 因为二叉搜索树的大小关系：左<根<右
  • 所以在这种后续遍历倒序模式下，任何局部应该都是：从根开始，往右深入（值变大），再往左深入（值变小）
  • 故我们来看：续遍历的倒序序列，是不是每次都先往右深入，然后是左，即都是值先变大，在再变小

有了以上的基本认识以后，我们来看如何检查这个序列是否是后续遍历的倒序：

1、从左往右遍历，如果p[i] < p[i+1] , 就往后走；

2、直到遇到第一个p[i]> p[i+1] ，即上图的6>2，这个时候，2 一定是某个root 的左孩子！

​ 2.1、为什么呢，上面我们讨论了，这个遍历思想是值是先增大后减小，一旦减小说明开始遍历到左孩子了！

​ 2.2、既然遍历到左孩子了，就说明，序列中2 的右边的所有元素（图上1,3）都一定比 2 的父亲（root，5）要小！

​ 2.3 那如果其2右边的序列（1,3）比root（5）要大，显然就不符合这个遍历思想，那么就返回 false ！

好了，这个方法的核心思想讲完了：刚接触的人肯定还是一头雾水，你可以再看一遍我的解析，弄清楚上面的核心遍历思想！

下面我们来看如何将这个判别思想流程化：

1. 初始化一个辅助栈stack ，我们首先将 root 设置为Integer.MAX_VALUE
2. 题目给的后序遍历序列（非倒序）postorder，那我们就 从后往前 遍历, 假设当前节点为 p[i]
   1. 若p[i] > root ，即不满足条件二叉搜索树右子< 根的思想，返回false
   2. 若p[i] < root 且 stack 不为空：循环出栈，将出栈元素赋值给 root
   3. 若遍历完成，说明为 true

//代码
class Solution {
    public boolean verifyPostorder(int[] postorder) {
        //辅助栈
        Stack<Integer> stack = new Stack<>();
        int root = Integer.MAX_VALUE;
        //从后往前遍历
        for(int i = postorder.length - 1; i >= 0; i--) {
            //当前节点大于当前的root，false
            if(postorder[i] > root) return false;
            //遇到当前节点小于栈顶的元素，就pop(),然后赋值给root,直到栈为空或者栈顶大于当前元素
            while(!stack.isEmpty() && stack.peek() > postorder[i])
            	{root = stack.pop();}
            //一般情况，就入栈
            stack.add(postorder[i]);
        }
        return true;
    }
}

参考链接（大佬有图解）：

https://leetcode-cn.com/problems/er-cha-sou-suo-shu-de-hou-xu-bian-li-xu-lie-lcof/solution/mian-shi-ti-33-er-cha-sou-suo-shu-de-hou-xu-bian-6/

方法二：递归分治（常规）

• 首先我们知道一颗二叉搜索树的后续遍历的结构：左 || 右 || 根

• 一颗二叉树搜索树在任何局部都满足的的大小关系为：左 < 根 < 右

• 所以我们想到一个简单的检验是否为后续遍历序列的方法：

  • 假设后续遍历序列为【R1,R2,R3...Ri, R(i+1),...Rn，root】
  • 我们从左往右遍历，由于左边均为左子树，即满足Rx < root；
  • 一旦找到第一个大于root的点，假设下标为i ，即Ri > root；
  • 这说明从Ri开始，后面的序列应该全是root的右子树的节点, 且右 > 根
    即Rx > root ,若后面的序列【Ri…Rn】中存在一个不满足 Rx > root , 返回 false

  通过以上检查后，我们递归的去检查更小的分支是否符合；
  即 检查 左子树 【R1，R2... Ri-1】和右子树【Ri...Rn】
check(int[] post , start ,i-1) && check(int[] post , i, end)

  class Solution {
  
  public boolean verifyPostorder(int[] postorder) {
      if( postorder.length==0) return true;
      return verifyPostorder(postorder,0,postorder.length-1);
  }
  
  public boolean verifyPostorder(int[] post, int start , int end ){
      if(end <= start ) return true;
      //找到第一个大于根节点的点 post[i]
      int i =0;
      for( ; i < end ; i++){
          if(post[i]> post[end]) break;  
      }
  	//检查 post[i] 后面的序列是否存在小于root的节点，如存在，返回false
      for(int j = i ;  j < end ; j++){
          if(post[j]<post[end]) return false;
      }
  	//递归的去检查 左子树 和 右子树
      return verifyPostorder(post,start,i-1) 
          && verifyPostorder(post,i,end-1) ;
  }
  }