代数系统笔记：
一、代数系统：
| 概念 | 释义 | 性质 |
|---|---|---|
| 代数系统 | 满足以下三个条件： （1）拥有一个非空集合 S S S； （2）拥有若干个运算 ∘ \circ ∘； （3）运算 ∘ \circ ∘对集合 S S S封闭 记为 < S , ∘ > <S,\circ> <S,∘> | 对支持的运算封闭 |
| 单位元/幺元 e e e | 代数系统
<
S
,
c
i
r
c
>
<S,circ>
<S,circ>中，若存在元素
e
l
e_l
el，使得
∀
x
∈
S
,
e
l
∘
x
=
x
\forall x\in S,e_l\circ x = x
∀x∈S,el∘x=x，则称
e
l
e_l
el为
<
S
,
∘
>
<S,\circ>
<S,∘>的左单位元/左幺元； 若存在元素 e r e_r er，使得 ∀ x ∈ S , x ∘ e r = x \forall x\in S,x\circ e_r = x ∀x∈S,x∘er=x，则称 e r e_r er为 < S , ∘ > <S,\circ> <S,∘>的右单位元/右幺元； 若存在元素 e e e，既是左单位元又是右单位元，则称 e e e为 < S , ∘ > <S,\circ> <S,∘>的单位元/幺元 | ①代数系统中左/右单位元不一定存在； ②左/右单位元若存在，也不一定唯一； ③若代数系统同时具有左/右单位元，则其必定相等且唯一，即是单位元； ④若代数系统存在单位元，则其一定唯一 |
| 零元 0 S 0_S 0S | 代数系统 < S , ∘ > <S,\circ> <S,∘>中，若存在元素 0 S 0_S 0S，使得 ∀ x ∈ S , 0 S ∘ x = x ∘ 0 S = 0 S \forall x\in S,0_S\circ x = x\circ 0_S = 0_S ∀x∈S,0S∘x=x∘0S=0S，则称 0 S 0_S 0S为 < S , ∘ > <S,\circ> <S,∘>的零元 | 代数系统不一定有零元 |
| 逆元 x − 1 x^{-1} x−1 | 若代数系统 < S , ∘ > <S,\circ> <S,∘>存在单位元，则给定 S S S中一个元素 x x x，若存在一个元素 x ′ x' x′使得 x ′ ∘ x = e x'\circ x = e x′∘x=e，则称 x ′ x' x′是 x x x的左逆元；若存在一个元素 x ′ ‘ x'‘ x′‘使得 x ∘ x ′ ′ = e x\circ x'' = e x∘x′′=e，则称 x ′ ′ x'' x′′是 x x x的右逆元；若存在一个元素 x − 1 x^{-1} x−1使得其既是元素 x x x的左逆元又是 x x x的右逆元，则称 x − 1 x^{-1} x−1是 x x x的逆元 | 若若代数系统 < S , ∘ > <S,\circ> <S,∘>满足结合律，则给定元素既有左逆元又有右逆元，则二者相等且唯一 |
| 同态 | 对于代数系统 < S 1 , ∘ > <S_1,\circ> <S1,∘>， < S 2 , ∗ > <S_2,*> <S2,∗>，若存在函数 f ： S 1 → S 2 f：S_1\rightarrow S_2 f：S1→S2，满足： ∀ x , y ∈ S 1 , f ( x ∘ y ) = f ( x ) ∗ f ( y ) \forall x, y \in S_1, f(x\circ y) = f(x)*f(y) ∀x,y∈S1,f(x∘y)=f(x)∗f(y)，则称两代数系统同态，函数 f f f称同态映射 | 特殊地，若同态映射 f f f为满射，则称其为满同态 |
| 同构 | 对于代数系统 < S 1 , ∘ > <S_1,\circ> <S1,∘>， < S 2 , ∗ > <S_2,*> <S2,∗>，若存在双射函数 f ： S 1 → S 2 f：S_1\rightarrow S_2 f：S1→S2，满足： ∀ x , y ∈ S 1 , f ( x ∘ y ) = f ( x ) ∗ f ( y ) \forall x, y \in S_1, f(x\circ y) = f(x)*f(y) ∀x,y∈S1,f(x∘y)=f(x)∗f(y)，则称两代数系统同构，记为 S 1 ≡ S 2 S_1 \equiv S_2 S1≡S2，函数 f f f称同构映射 |
二、群：
| 概念 | 释义 | 基本性质 |
|---|---|---|
| 半群 | 满足结合律的代数系统 | 若某元素存在逆元，则逆元必定唯一 |
| 幺半群/独异点 | 存在幺元的半群 | 幺元唯一 |
| 群 | 每个元素都有逆元的幺半群 | 见下文 |
| 交换群/阿贝尔群 | 满足交换律的群 | 见下文 |
<
G
,
∗
>
<G,\ast>
<G,∗>为群当且仅当存在
e
∈
G
e\in G
e∈G和G上的一元运算
−
1
^{-1}
−1使得：
（1）非空：
G
≠
∅
G \neq \empty
G=∅
（2）封闭：
∀
x
,
y
∈
G
,
x
∗
y
∈
G
\forall x, y \in G, x \ast y \in G
∀x,y∈G,x∗y∈G
（3）结合律：
∀
x
,
y
,
z
∈
G
,
x
∗
(
y
∗
z
)
=
(
x
∗
y
)
∗
z
\forall x, y,z \in G, x \ast (y\ast z) = (x\ast y) \ast z
∀x,y,z∈G,x∗(y∗z)=(x∗y)∗z
（4）幺元：
∀
x
∈
G
,
x
∗
e
=
e
∗
x
=
x
\forall x\in G, x \ast e = e\ast x = x
∀x∈G,x∗e=e∗x=x
（5）逆元：
∀
x
∈
G
,
x
∗
x
−
1
=
x
−
1
∗
x
=
e
\forall x\in G, x \ast x^{-1} = x^{-1}\ast x = e
∀x∈G,x∗x−1=x−1∗x=e
=> 群方程定理：
若半群
<
G
,
∗
>
<G,\ast>
<G,∗>满足方程
a
x
=
b
ax = b
ax=b与
y
a
=
b
ya = b
ya=b有唯一解，则
<
G
,
∗
>
<G,\ast>
<G,∗>为群
-
群的运算律：
（1）双重逆律： ( a − 1 ) − 1 = a (a^{-1})^{-1} = a (a−1)−1=a
（2）逆律： ( a b ) − 1 = b − 1 a − 1 (ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1} (ab)−1=b−1a−1
（3）左消去律： a b = a c → b = c ab = ac \rightarrow b = c ab=ac→b=c
（4）右消去律： b a = c a → b = c ba = ca \rightarrow b = c ba=ca→b=c
-
群的阶：
若G有限，则称 < G , ∗ > <G,\ast> <G,∗>为有限群，且令 ∣ G ∣ = n |G| = n ∣G∣=n，则称G为 n n n阶群
若G无限，则称 < G , ∗ > <G,\ast> <G,∗>为无限群，并记G的阶数 ∣ G ∣ = ∞ |G| = \infty ∣G∣=∞性质：
（1）1~3阶群在同构意义下有且仅有一个（2）4阶群在同构意义下有且仅有两个
（3）6阶以下的群都是阿贝尔群
（4）若 ∣ G ∣ = p |G| = p ∣G∣=p，其中p是某素数，则G一定是阿贝尔群
-
群元素的阶：
在群 < G , ∗ > <G,\ast> <G,∗>中，若存在正整数n，使得 a n = e a^n = e an=e，则称a的阶是有穷的，并记a的阶为 ∣ a ∣ = m i n { n > 0 ∣ a n = e } |a| = min\{n>0|a^n = e\} ∣a∣=min{n>0∣an=e}；否则，则称a的阶是无穷的，且记a的阶为 ∣ a ∣ = ∞ |a| = \infty ∣a∣=∞
性质：
（1） 有限群中阶大于2的元素有偶数个（2）若 a k = e a^k = e ak=e，则 ∣ a ∣ ∣ k |a| \mid k ∣a∣∣k
（3） ∣ a ∣ = ∣ a − 1 ∣ |a| = |a^{-1}| ∣a∣=∣a−1∣
（4） ∣ a b ∣ = ∣ b a ∣ |ab| = |ba| ∣ab∣=∣ba∣
（5） ∣ b − 1 a b ∣ = ∣ a ∣ |b^{-1}ab| = |a| ∣b−1ab∣=∣a∣
-
子群：
设 < G , ∗ , e , − 1 > <G,\ast,e,^{-1}> <G,∗,e,−1>为群，且集合 H ⊆ G H \subseteq G H⊆G，若满足：
（1）运算封闭性： ∀ x , y ∈ H , x ∗ y ∈ H \forall x, y \in H, x\ast y \in H ∀x,y∈H,x∗y∈H
（2）单位元封闭性： e ∈ H e\in H e∈H
（3）逆元封闭性： ∀ x ∈ H , x − 1 ∈ H \forall x \in H, x^{-1} \in H ∀x∈H,x−1∈H
则称 H H H为 G G G的子群；
=> 子群判定定理：
（1） 判定定理1：
① 非空： H ≠ ∅ H \neq \empty H=∅
② 运算封闭性： ∀ x , y ∈ H , x ∗ y ∈ H \forall x, y \in H, x\ast y \in H ∀x,y∈H,x∗y∈H
③ 逆元封闭性： ∀ x ∈ H , x − 1 ∈ H \forall x \in H, x^{-1} \in H ∀x∈H,x−1∈H（2）判定定理2：
① 非空： H ≠ ∅ H \neq \empty H=∅
② ∀ x , y ∈ H , x ∗ y − 1 ∈ H \forall x, y \in H, x\ast y^{-1} \in H ∀x,y∈H,x∗y−1∈H（3）判定定理3：
① H H H非空且有限
② 运算封闭性： ∀ x , y ∈ H , x ∗ y ∈ H \forall x, y \in H, x\ast y \in H ∀x,y∈H,x∗y∈H
-
循环群：
设 < G , ∗ > <G,\ast> <G,∗>为群，若G中存在元素a，满足： G = < a > G = <a> G=<a>，则称G为循环群，a称为G的生成元，其中 < a > = { a n ∣ n ∈ Z } <a> = \{a^n | n \in Z\} <a>={an∣n∈Z}
=> 生成元的阶数等于群阶数
=> 循环群一定是阿贝尔群
=> 若 a a a是无限循环群的生成元，则 a − 1 a^{-1} a−1也是该无限循环群的生成元，且无限循环群有且仅有两个生成元
=> n阶循环群 G = < a > G = <a> G=<a>的生成元集为： { a k ∣ 0 < k ≤ k ∧ g c d ( k , n ) = 1 } \{a^k | 0<k \leq k \wedge gcd(k,n) = 1\} {ak∣0<k≤k∧gcd(k,n)=1}，即G的生成元个数恰好等于其阶数的欧拉函数 φ ( n ) \varphi(n) φ(n)
=> 对于n的每个因数d, n阶循环群恰好有一个d阶子群
-
陪集：
设 < H , ∗ > <H,\ast> <H,∗>是 < G , ∗ > <G,\ast> <G,∗>的一个子群，且 a ∈ G a \in G a∈G，令：
H a = { h a ∣ h ∈ H } ， a H = { a h ∣ h ∈ H } Ha = \{ha | h \in H\}，aH = \{ah | h \in H\} Ha={ha∣h∈H}，aH={ah∣h∈H}
称 H a Ha Ha / a H aH aH为子群H在G中的右 / 左 陪集，
而H在G中右陪集的个数称H在G中的指数，记为 [ G : H ] [G:H] [G:H]
=> 任意子群对于所有G中的元素构成的左/右陪集恰好构成原群的一个划分
=> 拉格朗日定理：
设 < G , ∗ > <G,\ast> <G,∗>为有限群， < H , ∗ > <H,\ast> <H,∗>是其子群，则： ∣ G ∣ = ∣ H ∣ ⋅ [ G : H ] |G| = |H| \cdot [G:H] ∣G∣=∣H∣⋅[G:H]
=> 推论1：设
<
G
,
∗
>
<G,\ast>
<G,∗>为有限群，
<
H
,
∗
>
<H,\ast>
<H,∗>是其子群，则
∣
H
∣
∣
∣
G
∣
|H| \mid |G|
∣H∣∣∣G∣
=> 推论1：设
<
G
,
∗
>
<G,\ast>
<G,∗>为有限群，
a
∈
G
a \in G
a∈G，则
∣
a
∣
∣
∣
G
∣
|a| \mid |G|
∣a∣∣∣G∣
=> 推论2：设
<
G
,
∗
>
<G,\ast>
<G,∗>为p阶群，且p为质数，则G一定是循环群
设群 < G 1 , ∘ > <G_1,\circ> <G1,∘>与 < G 2 , ∗ > <G_2,\ast> <G2,∗>，则两群同态当且仅当存在函数 f : G 1 → G 2 f: G_1\rightarrow G_2 f:G1→G2，满足： ∀ x , y ∈ G 1 , f ( x ∘ y ) = f ( x ) ∗ f ( y ) \forall x, y \in G_1, f(x\circ y) = f(x)\ast f(y) ∀x,y∈G1,f(x∘y)=f(x)∗f(y)
=> 群同态性质：
（1）
f
(
e
1
)
=
e
2
f(e_1) = e_2
f(e1)=e2
（2）
f
(
x
−
1
)
=
f
−
1
(
x
)
f(x^{-1}) =f^{-1}(x)
f(x−1)=f−1(x)
（3）
f
(
x
n
)
=
f
n
(
x
)
f(x^n) = f^n(x)
f(xn)=fn(x)
-
群同构：
设群 < G 1 , ∘ > <G_1,\circ> <G1,∘>与 < G 2 , ∗ > <G_2,\ast> <G2,∗>，则两群同构当且仅当存在双射函数 f : G 1 → G 2 f: G_1\rightarrow G_2 f:G1→G2，满足： ∀ x , y ∈ G 1 , f ( x ∘ y ) = f ( x ) ∗ f ( y ) \forall x, y \in G_1, f(x\circ y) = f(x)\ast f(y) ∀x,y∈G1,f(x∘y)=f(x)∗f(y)
=> 设 < G , ∗ > <G,\ast> <G,∗>为无限循环群，则 < G , ∗ > ≡ < Z , + > <G,\ast> \equiv <Z,+> <G,∗>≡<Z,+>，其中 < Z , + > <Z,+> <Z,+>为整数加群
=> 设 < G , ∗ > <G,\ast> <G,∗>为n阶循环群，则 < G , ∗ > ≡ < Z n , ⊕ n > <G,\ast> \equiv <Z_n,\oplus_n> <G,∗>≡<Zn,⊕n>，其中 < Z n , ⊕ n > <Z_n,\oplus_n> <Zn,⊕n>为模n剩余加群
=> 所有元素的阶都是2
=> 是最小的非循环群
三、格：
-
偏序格：
设 ( L , ≤ ) (L,\le) (L,≤)是偏序集，若对于任意的 x , y ∈ L x,y\in L x,y∈L，{ x , y x,y x,y}的上下确界均存在，则称 ( L , ≤ ) (L,\le) (L,≤)是偏序格
-
代数格：
设代数系统 L L L上有 ∨ \vee ∨和 ∧ \wedge ∧两个二元运算，且其满足结合律、交换律、吸收律，则称 ( L , ∨ , ∧ ) (L,\vee,\wedge) (L,∨,∧)为代数格
-
代数格与偏序格的等价性：
在代数格 ( L , ∨ , ∧ ) (L,\vee,\wedge) (L,∨,∧)上定义关系： ∀ x , y ∈ L , x ≤ y ↔ x ∧ y = x ( 即 x ∨ y = y ) \forall x,y \in L,x\le y \leftrightarrow x \wedge y = x(即 x \vee y = y) ∀x,y∈L,x≤y↔x∧y=x(即x∨y=y)
容易证明该关系是一个偏序关系，且该偏序构成一个格
（ l u b { x , y } = x ∨ y , g l b { x , y } = x ∧ y lub\{x,y\} = x \vee y, glb\{x,y\} = x \wedge y lub{x,y}=x∨y,glb{x,y}=x∧y）
-
子格：
对于格 ( L , ∨ , ∧ ) (L,\vee,\wedge) (L,∨,∧)，若非空集合 S ⊆ L S \subseteq L S⊆L且S关于L中的 ∨ , ∧ \vee,\wedge ∨,∧运算仍然构成格 ( S , ∨ , ∧ ) (S,\vee,\wedge) (S,∨,∧)，则称 ( S , ∨ , ∧ ) (S,\vee,\wedge) (S,∨,∧)为 ( L , ∨ , ∧ ) (L,\vee,\wedge) (L,∨,∧)的子格
=> 注意子格不是子图，运算的封闭性仍然在L中成立即可，而不必在子格所在子图中封闭
-
格同构：
设两个格分别为 ( L 1 , ∨ 1 , ∧ 1 ) (L_1,\vee_1,\wedge_1) (L1,∨1,∧1)和 ( L 2 , ∨ 2 , ∧ 2 ) (L_2,\vee_2,\wedge_2) (L2,∨2,∧2)，若存在双射 f : L 1 → L 2 f:L_1\rightarrow L_2 f:L1→L2使得： ∀ x , y ∈ L 1 , x ≤ 1 y ⇒ f ( x ) ≤ 2 f ( y ) \forall x,y \in L_1, x \le_1 y \Rightarrow f(x) \le_2 f(y) ∀x,y∈L1,x≤1y⇒f(x)≤2f(y)
-
分配格：
对于格 ( L , ∨ , ∧ ) (L,\vee,\wedge) (L,∨,∧)，若其二元运算 ∨ , ∧ \vee,\wedge ∨,∧同时还满足双向的分配律，则称其为分配格
=> 分配格判定定理1：
格 ( L , ∨ , ∧ ) (L,\vee,\wedge) (L,∨,∧)是分配格当且仅当其不含有与 M 3 M_3 M3（钻石格）或 N 5 N_5 N5（五角格）同构的子格=> 分配格判定定理2：
格 ( L , ∨ , ∧ ) (L,\vee,\wedge) (L,∨,∧)是分配格当且仅当:
∀ a , b , c ∈ L , ( a ∨ b = a ∨ c ) ∧ ( a ∧ b ) = ( a ∧ c ) → b = c \forall a,b,c \in L, (a \vee b = a \vee c) \wedge (a \wedge b) = (a\wedge c) \rightarrow b = c ∀a,b,c∈L,(a∨b=a∨c)∧(a∧b)=(a∧c)→b=c
-
有界格：
对于格 ( L , ∨ , ∧ ) (L,\vee,\wedge) (L,∨,∧)，若其存在最大元和最小元，则称其为有界格，
且最大元 / 最小元又分别叫做全上界 / 全下界，分别记为1，0，而有界格记为 ( L , ∨ , ∧ , 0 , 1 ) (L,\vee,\wedge,0,1) (L,∨,∧,0,1)=> 有界格一定满足同一律和支配律
=> 有界格的原子：
对于有界格 ( L , ∨ , ∧ , 0 , 1 ) (L,\vee,\wedge,0,1) (L,∨,∧,0,1)，称覆盖全下界0的元素为原子=> 有界格元素的补元：
对于有界格 ( L , ∨ , ∧ , 0 , 1 ) (L,\vee,\wedge,0,1) (L,∨,∧,0,1)中某元素a,，若 ∃ b ∈ L \exist b\in L ∃b∈L，使得 a ∨ b = 1 且 a ∧ b = 0 a\vee b = 1 且 a\wedge b = 0 a∨b=1且a∧b=0，则称b为a的补元，记为 a ˉ \bar a aˉ=> 有界分配格的补元：
对于有界分配格 ( L , ∨ , ∧ , 0 , 1 ) (L,\vee,\wedge,0,1) (L,∨,∧,0,1)中某元素a，若其存在补元 a ˉ \bar a aˉ，则其补元唯一
四、布尔代数：
-
布尔代数的定义：
代数定义：若代数系统B上定义的：
（1）二元运算 + , ⋅ +,\cdot +,⋅满足结合律、交换律和分配律
（2）一元运算 − - −满足补律
（3）特殊元素0和1满足同一律则称 ( B , + , ⋅ , − , 0 , 1 ) (B,+,\cdot,-,0,1) (B,+,⋅,−,0,1)为一个布尔代数，并把运算 + + +称为布尔加， ⋅ \cdot ⋅称为布尔乘
格定义：设 ( L , ∨ , ∧ , − , 0 , 1 ) (L,\vee,\wedge,-,0,1) (L,∨,∧,−,0,1)为有界格，若其二元运算满足分配律且任意元素有补元，即L是一个有补分配格，则称 ( L , ∨ , ∧ , − , 0 , 1 ) (L,\vee,\wedge,-,0,1) (L,∨,∧,−,0,1)为布尔代数，即 ( L , ∨ , ∧ , − , 0 , 1 ) ≡ ( B , + , ⋅ , − , 0 , 1 ) (L,\vee,\wedge,-,0,1) \equiv (B,+,\cdot,-,0,1) (L,∨,∧,−,0,1)≡(B,+,⋅,−,0,1)
| 恒等式名 | 恒等表达式 |
|---|---|
| 结合律 |
(
x
+
y
)
+
z
=
x
+
(
y
+
z
)
(x + y) + z = x + (y + z)
(x+y)+z=x+(y+z) ( x ⋅ y ) ⋅ z = x ⋅ ( y ⋅ z ) (x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z) (x⋅y)⋅z=x⋅(y⋅z) |
| 交换律 |
x
+
y
=
y
+
x
x + y =y + x
x+y=y+x x ⋅ y = y ⋅ x x \cdot y = y \cdot x x⋅y=y⋅x |
| 分配律 |
x
+
(
y
⋅
z
)
=
(
x
+
y
)
⋅
(
x
+
z
)
x + (y \cdot z) = (x + y) \cdot ( x+ z)
x+(y⋅z)=(x+y)⋅(x+z) x ⋅ ( y + z ) = ( x ⋅ y ) + ( x ⋅ z ) x \cdot (y + z) = (x \cdot y)+( x \cdot z) x⋅(y+z)=(x⋅y)+(x⋅z) |
| 同一律 |
x
+
0
=
x
x+0 = x
x+0=x x ⋅ 1 = x x\cdot 1 = x x⋅1=x |
| 支配律 |
x
+
1
=
1
x + 1 = 1
x+1=1 x ⋅ 0 = 0 x \cdot 0 = 0 x⋅0=0 |
| 补律 |
x
+
x
ˉ
=
1
x+\bar x = 1
x+xˉ=1 x ⋅ x ˉ = 0 x\cdot \bar x = 0 x⋅xˉ=0 |
| 双重补律 | x ˉ ˉ = x \bar{\bar x} = x xˉˉ=x |
| 幂等律 | x = x + x = x ⋅ x x = x+ x = x \cdot x x=x+x=x⋅x |
| 吸收律 |
p
+
(
p
⋅
q
)
=
p
p + (p\cdot q) = p
p+(p⋅q)=p p ⋅ ( p + q ) = p p \cdot (p + q)= p p⋅(p+q)=p |
| 德摩根律 |
(
x
⋅
y
)
‾
=
x
ˉ
+
y
ˉ
\overline{(x\cdot y)} = \bar x + \bar y
(x⋅y)=xˉ+yˉ ( x + y ) ‾ = x ˉ ⋅ y ˉ \overline{(x+ y)} = \bar x \cdot \bar y (x+y)=xˉ⋅yˉ |
-
有限布尔代数的表示定理：
任一有限布尔代数B同构于B中所有的原子构成的集合A的幂集代数系统 P ( A ) \Rho(A) P(A)，
即： ( B , + , ⋅ , − , 0 , 1 ) ≡ ( P ( A ) , ∪ , ∩ , ～ , ∅ A ) (B,+,\cdot,-,0,1) \equiv (\Rho(A),\cup,\cap,～,\empty A) (B,+,⋅,−,0,1)≡(P(A),∪,∩,～,∅A)
=> 任何有限布尔代数的基数为
∣
B
∣
=
2
n
|B| = 2^n
∣B∣=2n
=> 等势的有限布尔代数均同构
-
布尔函数：
设 B = { 0 , 1 } , B n = { ( x 1 , x 2 , . , , , x n ) ∣ x i ∈ B } B = \{0,1\},B^n = \{(x_1,x_2,.,,,x_n)|x_i \in B\} B={0,1},Bn={(x1,x2,.,,,xn)∣xi∈B}，则称函数 f : B n → B f:B^n\rightarrow B f:Bn→B为n元布尔函数，并把 x i x_i xi称为布尔变元
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