算法竞赛进阶指南---0x48（可持久化数据结构） 最大异或和

题面

题解

1. 此题是在最大异或对的基础上进行进一步扩展，用到了可持久化Trie
2. 对于题中所给条件，我们做进一步转化，我们可以用前缀和数组，s0=0, s1=a1,s2=a1 ^ a2 , s3 = a1^ a2^a3 …这样，对于ap ^ … ^ an ^ x = s p-1 ^ sn ^ x ，那么对于区间[l,r] 的查询 ，就变成了 [sl-1,r-1] ^ sn ^x 最大了
3. 找异或最大，有没有之前的Trie异或对的做题思路，比如0101 异或多少能最大呢 答案肯定是每一位的对立，就是1010 ，异或结果1111 肯定就是最大，那么这题也一样，肯定是建立一颗Trie，在这棵树上找最大
4. 这样是找两个数的异或和，那么找区间中最大的呢，我们可以先假设只有右区间，也就是找[1,r] 中异或最大，那这个就简单了，只需要维护Trie的历史版本，因为每个历史版本对应的就是插入1个数后生成的版本，那么第r个历史版本就是插入数ar之后的字典树，在这棵树上找一个最大异或值即为答案
5. 那么加上左区间呢，我们就需要给每个节点加一个属性max_id(表示当前节点的子树中前缀和下标最大值)，有了这个属性后，我们我们在遍历第r个版本的字典树时，遍历到当前节点，如果当前节点的max_id>=l ,说明我们可以继续遍历这棵树，因为它的子树中有下边大于等于l的元素，否则就遍历它的对立
6. 大题思路就是这样，具体细节看代码 ，题中数据范围较大，注意输入输出超时，因为ai 最大是1e7，对于2进制下是2²⁴ ,所以要从23-0遍历

代码

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 6e5 + 10, M = N * 25;

int n, m, x;
int idx;   //节点编号
int s[N];  //前缀和数组
int tr[M][2]; //字典树
int root[N];  //历史版本
int max_id[M]; //每个节点的子树中对应的下标最大值

//i 前缀和下标   k 从第几位开始    p上一个版本  q当前版本
void insert(int i, int k, int p, int q) {

    if (k < 0) {  //处理完最后一位
        max_id[q] = i;
        return;
    }
    //当前这一位
    int v = s[i] >> k & 1;
    //如果当前这个节点存在，那么q就复制p（复制除当前这一位的其他信息复制）
    if (p) tr[q][v ^ 1] = tr[p][v ^ 1];
    //给当前路径开辟一个新的点
    tr[q][v] = ++idx;
    insert(i, k - 1, tr[p][v], tr[q][v]);
    //max_id要从儿子向父亲节点更新
    max_id[q] = max(max_id[tr[q][0]], max_id[tr[q][1]]);

}

int query(int root, int C, int L) {

    int p = root;
    //从最高位逐渐向下查找
    for (int i = 23; i >= 0; i--) {
        int v = C >> i & 1;
        if (max_id[tr[p][v ^ 1]] >= L) {  //如果可以找到对立位
            p = tr[p][v ^ 1];
        } else {  //没有对立位
            p = tr[p][v];
        }
    }
    return C ^ s[max_id[p]];
}

int main() {

    scanf("%d%d", &n, &m);

    //初始化第一个版本
    root[0] = ++idx;
    max_id[0] = -1;
    insert(0, 23, 0, root[0]);

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &x);
        s[i] = s[i - 1] ^ x;
        root[i] = ++idx;
        insert(i, 23, root[i - 1], root[i]);
    }

    char op[2];
    int l, r;
    while (m--) {
        scanf("%s", op);
        if (op[0] == 'A') {
            scanf("%d", &x);
            n++;
            s[n] = s[n - 1] ^ x;
            root[n] = ++idx;
            insert(n, 23, root[n - 1], root[n]);
        } else {
            scanf("%d%d%d", &l, &r, &x);
            printf("%d\n", query(root[r - 1], s[n] ^ x, l - 1));
        }
    }

    return 0;
}