动态规划解决最长公共子序列

惯例，先上美图：

什么是最长公共子序列？

　　 1. 官方定义：最长公共子序列也称作最长公共子串(不要求连续，但要求次序)，英文缩写为 LCS（Longest Common Subsequence）。其定义是，一个序列 S ，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则 S 称为已知序列的最长公共子序列。
　　
　　 2. 通俗的讲：就是给定两个字符串，求出这样一个最长的公共子序列的长度：子序列中的每个字符都能在两个原字符串中找到，并且每个字符的先后顺序和原串中的先后顺序一致。
　
例如：字符串S1为{a,s,d,f,g,h,q,e}，S2为{b,s,f,h,q,w,p}。他们的最长公共子序列的长度就是4，即：sfhq。

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为了统一，我们假定字符串本身并不算是其自身的子序列。比如：
S1 = “ASDF”
S2 = “AS”
它的最长子序列就是1 ，因为我们假定“AS”不算其自身的子序列。

如果它本身也算其自己的子序列，只需要在代码中做稍微的修改即可。

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【解题思路】：
　　既然是使用动态规划来解决这个问题，我们就需要一个东西来保存当前的最优状态，这里，我们可以设MaxLen(i，j)表示字符串S1从下标为 0 到下标为 i-1 的字符形成的子串，与字符串S2从下标为 0 到下标为 j-1 的字符形成的子串的最长公共子序列的长度。即：MaxLen(i，j)为本题的“状态”。
　　假定 len_1 是字符串S1的长度，len_2 是字符串S2的长度，所以，最后求的东西就是MaxLen(len_1，len_2)。我们先分析题目写出递归方程，再根据递归方程总结出动态规划的方法。

1. 递归出口：
   $$\{\begin{array}{l}MaxLen(n,0)=0\\ MaxLen(0,n)=0\end{array}$$
   上面公式中的n并不是特指字符串长度，它是一个小于字符串长度的一个任意数。

即：当两个字符串有任意一个只有一个字符时（下标从0 开始），他们的公共子序列就是0。因为我们假定自己不算自己的子序列。

2. 递推公式：

$$MaxLen(i，j)=$$