Dilworth定理 学习笔记

最新推荐文章于 2022-12-19 19:25:03 发布
原创 最新推荐文章于 2022-12-19 19:25:03 发布 · 316 阅读 · 3 ·
CC 4.0 BY-SA版权
版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。
文章标签：

#LIS #Dilworth

本文深入探讨了Dilworth定理，详细解释了一个序列的最长递增子序列的长度与最长不递增子序列个数的关系，以及最长递减子序列的长度与最长不递减子序列个数的关系。

摘要生成于 C知道 ，由 DeepSeek-R1 满血版支持， 前往体验 >

Dilworth定理

简单来说：

一个序列的最长递增子序列的长度 等于 这个序列的最长不递增（包含递减和相等）子序列的个数和；

相反，

一个序列的最长递减子序列的长度 等于 这个序列的最长不递减（包含递增和相等）子序列的个数和；

poj1065（dilworth定理+lis）
林伏案的博客
09-12 591
点击打开链接 /* translation: n根木材长l_i重w_i，前一根木材大于后一根的话要浪费一分钟准备机器，求最省方案？ solution: dp, dilworth定理， lis 此道题是求按照某一元素（长度或者重量）排序后，另一种元素最少有几个上升子序列？ 这样就可以通过求另一种元素的最长下降子序列的长度，就是上升子序列的最少个数。--dilworth定理 note
【学习笔记】Dilworth 定理的构造性证明
suncongbo's blog
07-16 1020
发现自己并不会 Dilworth 定理的构造性证明（原题要求输出方案），于是去 Wiki 上学习了一下。下文是我参照 Wiki 上的证明思路口胡的一个证明。 附例题：Codeforces 590E Dilworth 定理: DAG 的最长反链大小等于最小链覆盖大小。 反链是指从图中的一个点的集合，使得集合内点两两不可达；链覆盖是指用若干条可以相交的链覆盖图中所有的点。 证明: 首先考...
洛谷 P1020 导弹拦截（LIS，Dilworth定理）
Plus Ultra！
02-17 613
链接：P1020 题目描述 某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一种导弹拦截系统。但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭。由于该系统还在试用阶段，所以只有一套系统，因此有可能不能拦截所有的导弹。 输入导弹依次飞来的高度（雷达给出的高度数据是 \le 50000≤50000的正整数），计算这套系...
无向图定向（狄尔沃斯定理）
WA_King的博客
02-10 1499
狄尔沃斯定理 有向图最长路的长度为maxlen. 将有向图的点划分为k个点集,点集中的点两两之间没有边, k的最小值为maxlen+1 题目 题目链接 分析 根据狄尔沃斯定理,我们用染色法将 图中的点进行划分,相同的颜色表示在同一个点集中. 如果两点之间有边,则两点颜色不同,因为不能分到同一个点集中. 用dfs进行暴力染色,最小染色数位cnt,则答案为cnt-1. #include <bi...
最小链覆盖——Dilworth定理
热门推荐
一身清贫怎敢入繁华
02-28 1万+
Dilworth定理 Dilworth定理，一言以蔽之，偏序集能划分成的最少的全序集个数等于最大反链的元素个数。——————litble 狄尔沃斯定理(Dilworth’s theorem)亦称偏序集分解定理，是关于偏序集的极大极小的定理，该定理断言：对于任意有限偏序集，其最大反链中元素的数目必等于最小链划分中链的数目。此定理的对偶形式亦真，它断言：对于任意有限偏序集，其最长链中元素的数目必等于其...
POJ 1548 Robots G++ 看书 二分图最大匹配 Dilworth 狄尔沃斯定理 没掌握
woniupengpeng的专栏
07-06 168
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <vector> #include <algorithm> using namespace std; //英语 看博友分析 抄博友程序 看书 二分图最大匹配 Dilworth 狄尔沃斯定理 没掌握 struct nod{ int x; in...
有限半序集的结构分析和Dilworth定理的新证明 (1982年)
05-15
在本文中我们讨论了有限半序集的结构分析,并给出了Dilworth定理的两种新证明。在(一)中我们对半序集引进了独立集(最大不可比集)的概念、度数的概念和顶集的概念。得到了关于半序集结构的分层定理(定理1),并应用顶集...
Dilworth定理证明
qq_36679229的博客
02-24 1113
以下证明摘自网上相关资料，本人为了理解方便作了部分修改： 设偏序集S。S能划分成的最少的全序集的个数为K，S的最大反链的元素个数为M。 1. 先证明K&gt;=M。设反链A={a1,a2,...,aM}。假设K&lt;M，那么由抽屉原理，必然有两个元素ai,aj在同一个全序集中。那么ai,aj可比。与ai,aj不可比矛盾。 2. 再证明K=M。用第二数学归纳法。 　　设全序集S中有m个元素...
P1020 导弹拦截（Dilworth定理）
蛇形矩阵
08-16 285
狄尔沃斯定理 (Dilworth’s theorem) 某大佬的话：： 这个定理和一个对偶定理,讲的意思大概就是,给一个偏序关系,比如说是一个数它出现的位置i在另一个数出现的位置j之前,而且满足ai>aj.那么满足这个偏序关系的链就叫做链.关于链和反链: 链是一个偏序集S的全序子集（所谓全序是指任意两个元素可比较） 反链（是一个偏序集S的子集，其中任意两个元素不可比较. dilworth说的是:最大链的长度等于最少反链覆盖数.而最大反链的长度等于最少链覆盖数. **某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一
Dilworth定理的简单应用（导弹拦截题解）
sanjiucool的博客
12-19 658
Dilworth定理的简单应用（导弹拦截题解）
Dilworth定理与有向无圈图的链覆盖
霁月难逢 彩云易散
11-08 1298
Dilworth定理的应用条件为偏序集，定理转化为图论语言就是偏序集哈斯图的最长反链等于其最小链点覆盖数。 对于有的问题可以通过贪心分解链求最小链点覆盖或直接求其最大反链长度，从而得出解，例如：俩个全序集的笛卡尔积构成的偏序关系。 例题： http://poj.org/problem?id=1065 http://poj.org/problem?id=1548 http://poj.org
[Dilworth] Dilworth学习笔记
Antimonysbguy的博客
08-09 288
Dilworth定理/狄尔沃斯定理 是偏序集相关的定理 但是在DAG里面用得也挺活的 Dilworth定理在DAG里的应用 链：一个点集SSS，满足∀u,v∈S\forall u,v\in S∀u,v∈S，uuu能到达vvv，或vvv能到达uuu 反链：一个点集PPP，满足∀u,v∈P\forall u,v\in P∀u,v∈P，uuu不能到达vvv，且vvv不能到达uuu 最小链覆盖：用最少的链覆盖整张图 最大反链长度：使反链最长 最大反链长度=最小链覆盖 可以理解为，补图中最长链长度即为最小链覆盖 补图
3997: [TJOI2015]组合数学 DP Dilworth定理
ws_fqk
01-20 541
自己YY错了qwq。。。看了题解。。PoPoQQQ大爷： Dilworth定理：DAG的最小链覆盖=最大点独立集 最小链覆盖指选出最少的链(可以重复)使得每个点都在至少一条链中 最大点独立集指最大的集合使集合中任意两点不可达 此题中最大点独立集显然是一个集合满足集合中任意两点都是左下-右上的关系 DP一遍就能出解 复杂度O(Tmn) 似乎也叫最长反链qwq，好像C
【洛谷】P1020 导弹拦截（最长非递减子序列+dilworth定理）
悲伤无声地涌出来
09-05 397
题目链接 题目描述 某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一种导弹拦截系统。但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭。由于该系统还在试用阶段，所以只有一套系统，因此有可能不能拦截所有的导弹。 输入导弹依次飞来的高度（雷达给出的高度数据是≤50000的正整数），计算这套系统最多能拦截多少导弹，如果...
Dilworth定理是个啥东东
litble的成(tui)长(fei)史
12-27 8648
Dilworth定理 Dilworth定理，一言以蔽之，偏序集能划分成的最少的全序集个数等于最大反链的元素个数。 这对于数学不好的人（如litble）来说，不是句人话。翻译一下几个概念： 偏序 偏序嘛，应该不是那么陌生的东西 ，所谓“时属九月，三维偏序” 。 定义集合AAA中的一个二元关系≤\leq≤，譬如对于(a1,b1)(a_1,b_1)(a1​,b1​)和(a2,b2)(a_2,b_2)(a...
最长连续递增子序列长度和最长不连续递增子序列长度
QingtianD的博客
03-16 4564
最长连续递增子序列长度和最长不连续递增子序列长度 1.最长连续递增子序列 例如：Array[6] = {1，5，2，4，3，8} 其最长连续递增子序列就2，4或3，8，最长长度为2 设数组dp[i]，表示以i为结尾的最长连续子序列长度，即上述数组的dp数组即为 dp[6] = {1，1，1，2，1，2} 代码如下 #include&lt;iostream&gt; using namespace s...
拦截导弹 --- 最长非递增递增子序列
weixin_33725515的博客
04-23 108
只要是 求 递增递减 子序列什么的 都可以用那个 那个最长公共子序列的 方法 解决 , 不过 有一个需要注意的地方是 模版序列里面不能有 重复的数字 . 1 #include<stdio.h> 2 #include<string.h> 3 #include<math.h> 4 #include<iostream&g...
偏序集概念+Dilworth定理
nofuck的博客
02-22 4861
偏序的概念： 设A是一个非空集，P是A上的一个关系，若关系P是自反的、反对称的、和传递的，则称P是集合A上的偏序关系。 即P适合下列条件： （1）对任意的a∈A,(a,a)∈P; （2）若（a,b)∈P且（b,a)∈P,则a=b; （3）若（a,b)∈P,(b,c)∈P,则（a,c)∈P,则称P是A上的一个偏序关系。带偏序关系的集合A称为偏序集或半序集。 若P是A上的一个偏序关系，我们用a≤b来表...
绩效考核方案(前端部门)修改版.(1).doc
最新发布
07-28
绩效考核方案(前端部门)修改版.(1).doc
Dilworth
03-31
<think>好的，我现在需要处理用户关于Dilworth定理的查询。首先，我需要确认用户的具体需求是什么。他们提到想了解Dilworth定理或Dilworth算法，可能是在学习组合数学或算法时遇到了相关内容，比如在解决偏序集分解的问题，或者在处理像洛谷P1233这样的题目时遇到的。 接下来，我需要回忆Dilworth定理的基本内容。定理指出，在任意有限偏序集中，其宽度（即最大的反链大小）等于将该集合划分为最少数量的链的数。同时，定理的逆也成立，即链的最小数等于最长反链的大小。这一点可能用户需要明确，特别是定理的两个方向。 然后，关于Dilworth定理的证明，特别是构造性证明，用户可能希望了解如何实际应用这个定理来生成具体的划分方法。根据引用[1]中的内容，构造性证明涉及到找到最大反链，并通过归纳法处理子集。可能需要详细解释这个过程，但要注意不要过于复杂，保持清晰。 用户提供的引用中，引用[2]提到划分是按照最长上升子序列的长度，这可能涉及到Dilworth定理在序列分解中的应用，比如将一个序列分解为最少的最长不升子序列数目等于其最长上升子序列的长度。这部分需要结合例子说明，比如像洛谷题目中的木棍加工问题，应用Dilworth定理来转化问题。 另外，用户提到的Dilworth算法，可能是指应用该定理的具体算法步骤，如如何构造链的划分。可能需要解释如何通过贪心算法或动态规划来找到最长反链，或者如何分解链。引用[3]中的链接可能提供了具体的算法思路，需要结合这些内容进行说明。 在组织回答时，需要按照用户的要求，使用中文，分点解释定理内容、证明思路和应用场景。同时，生成相关问题，比如定理的其他形式、应用实例、与对偶定理的关系等，帮助用户进一步学习。 需要确保所有数学表达式正确使用$...$和$$...$$格式，例如在提到偏序集、链、反链时，使用正确的符号，如$P$，$A$等。同时，引用的标注要自然，比如在提到应用场景时引用相关的例子来源。 最后，检查是否有遗漏的信息，比如Dilworth定理的对偶形式，或者在实际算法中的具体实现步骤，确保回答全面且准确，符合用户的查询意图。</think>### Dilworth定理详解 #### 一、定理内容 Dilworth定理包含两个核心命题： 1. **分解定理**：任意有限偏序集$(P, \leq)$的最小链划分数等于其最大反链的大小[^1] 2. **对偶定理**：任意有限偏序集$(P, \leq)$的最小反链划分数等于其最长链的长度 其中： - **链**：集合中两两可比较的元素子集 - **反链**：集合中两两不可比较的元素子集 - **偏序集**：具有自反、反对称、传递关系的集合 #### 二、证明思路（构造性） 1. 设$k$为偏序集的最大反链大小 2. 若存在元素$x$不属于任何最大反链，则可递归处理$P \setminus \{x\}$ 3. 当所有元素都属于某个最大反链时： - 构造覆盖关系图，寻找最长链 - 通过归纳法证明可用$k$条链覆盖整个集合[^1] #### 三、应用场景 1. **木棍加工问题**（洛谷P1233） - 将木棍按长度、宽度排序后，求最少加工轮次 - 转化为求最长上升子序列长度[^3] 2. **任务调度优化** - 确定并行处理任务的最小资源需求 3. **组合数学证明** - 解决极值集合的分解问题 #### 四、算法实现 以木棍加工问题为例的伪代码框架： ```python def min_processing(sticks): sticks.sort(key=lambda x: (x.length, -x.width)) dp = [] for s in sticks: # 二分查找插入位置 pos = bisect_left(dp, s.width) if pos == len(dp): dp.append(s.width) else: dp[pos] = s.width return len(dp) ``` 此算法时间复杂度为$O(n \log n)$，空间复杂度$O(n)$[^3]
评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

个

红包个数最小为10个

元

红包金额最低5元

当前余额3.43元 前往充值 >
需支付：10.00元
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付元
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明：

1.余额是钱包充值的虚拟货币，按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载，可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值