星星之火OIer：快速幂、快速积_ioer 快速幂-优快云博客

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话说最近在学Miller_Rabin算法，顺便来提一下快速幂和快速积

快速幂和快速积利用了二分的思想

快速幂：：

快速幂用字母表示为： $a^n$ ，根据幂的运算，可以把 $a^n$ 转换为 $a^{\frac{n}{2}}*a^{\frac{n}{2}}$

所以这就是快速幂的由来

递归：：

简要思路

我们用 $ans$ 来记录答案（预处理 $ans=1$ ）每次把指数 $n/2$ ，先把 $ans$ 平方，然后如果 $n$ 是奇数，再把 $ans*a$

代码

int ksm(int a,int b,int n) {//a为底数，b为指数，为模数
    int ans=1;//记录答案
    if(b==1)
        return a%n;//b=1，直接返回a
    ans=(ans*(ksm(a,b/2,n)%n)*(ksm(a,b/2,n)%n))%n//平方后记住取模
    if(b&1)//指数为奇数，还要多乘一个，b&1就是b%2==1的意思
        ans=(ans*a)%n;
    return ans;
}

递推：：

简要思路

还是用 $ans$ 来记录答案，如果 $n$ 是奇数，就把 $ans=ans*a$ ，然后再把 $a$ 平方，当然每次还是要把 $n/2$

代码

int ksm(int a,int b,int n) {//同上
    int ans=1;
    while(b) {//循环
        if(b&1)
            ans=(ans*a)%n;//b为奇数就要乘一次
        a=(a*a)%n;//底数平方一次
        b>>=1;//等价于b/2
    }
}

当然，因为递归需要一层一层深入再一层一层出来，所以时间复杂度相对较高

快速积

快速积和快速幂是一个道理

$a*b=(a*b/2)+(a*b/2)$

还是有两种方法：

递归

思路就不讲了吧，跟上面是一个道理

int ksc(int a,int b,int n) {//懒得解释了
    int ans=0;
    if(b==1)
        return a;
    ans=(ans+ksc(a,b/2,n)%n*2)%n
    if(b&1)
        ans=(ans+a)%n;
    return ans;
}

递推

int ksc(int a,int b,int n) {
    int ans=0;
    while(b) {
        if(b&1)
            ans=(ans+a)%n;
        a=a*2%n;
        b>>=1;
    }
}

总结

快速幂和快速积其实是非常节省时间的，如果我们直接用 $power$ 或者直接乘的话，时间复杂度是 $O(n)$ ，而用了快速幂和快速积后，因为是二分，时间复杂度可以降到 $O(logn)$ ，在大数据面前还是很实用

~~其实这是作者留给自己 $copy$ 的板~~