星星之火OIer：素数判断——Miller_Rabin

最新推荐文章于 2024-04-08 01:04:13 发布

星星之火OIer

最新推荐文章于 2024-04-08 01:04:13 发布

阅读量277

点赞数 1

分类专栏：数论

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_43890190/article/details/89450244

版权

数论专栏收录该内容

14 篇文章

订阅专栏

本文介绍了如何判断素数，包括普通判断方法和更高效的Miller-Rabin素数测试法。Miller-Rabin算法基于费马小定理和二次探测定理，通过随机测试提高正确率，虽然存在一定的误差率，但能有效检测大整数的素性。文中给出了详细的算法流程和代码示例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

在这一讲中，我们来看一下如何判断一个素数

常用的有 $2$ 种

$O(\sqrt{n})=O(n^\frac{1}{2})$ ——普通判断

从 $2$ 到 $\sqrt{n}$ 依次判断 $n \% i$ 是否等于 $0$

代码如下：：

for(int i=2;i<=int(sqrt(n));i++)
    if(n%i==0) {
        puts("Unprime");//将就看到起，我也不晓得怎么说了
        return 0;
    }
puts("Prime");

这是很简单的

$O(\sqrt{\sqrt{n}})=O(n^\frac{1}{4})$ ——Miller Rabin素数测试法

这是一个可以检测 $rp$ 的算法

因为这是基于随机算法而来的素数测试法

算法前置：：

费马小定理：若 $a$ 是整数， $p$ 是质数，且 $a\%p!=0$ ，则 $a^{p-1}\equiv 1(\mod p)$ ，但反过来不一定成立，即如果 $a^{p-1}\equiv 1(\mod p)$ 且 $a,p$ 互质不能退出 $p$ 为质数，但这种数是极少见的
二次探测定理：若 $p$ 是质数，且 $0<x<p$ ，则方程 $x^2-1\equiv 1(\mod p)$ 的解为 $x=1$ 或 $x=p-1$
模运算： $(a*b)\%n=(a\%n*b\%n)\%n$
快速幂、快速积：运用二分的思想，快速求出 $a^b$ 和 $a*b$

算法流程：：

判断 $n$ 是不是2，如果是，返回 $true$
判断 $n$ 是否小于2或者 $n\%2==0$ ，如果是，返回 $false$
令 $n-1=u*2^t$ 并求出 $u,t$ ，其中 $u$ 是奇数
令 $x=(a^u)\%n$
然后是 $t$ 次循环，每次循环都让 $y=(x^2)\%n,x=y$ ，这样t次循环之后 $x=a^{u*2^t}=a^{n-1}$
因为根据二次探测定理定理，如果 $x!=1||x!=n$ ，那么 $n$ 肯定不是质数，返回 $false$
然后又可以用费马小定理，若 $x!=1$ ，则 $n$ 也不是质数
然鹅因为Miller_Rabin算法的正确率只有 $75\%$ 左右，所以要循环 $k$ 次， $k$ 请自取，算法错误率为 $\frac{1}{4^k}$
然后就看 $rp$ 了

更多详细的解释请看代码，谢谢

代码：：

#include<ctime>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
#define il inline
#define rt return
#define bl bool
#define vd void
il vd read(ll &x) {
    x=0;
    ll f=1;
    char s=getchar();
    while(s<'0'||s>'9') {
        if(s=='-')
            f=-1;
        s=getchar();
    }
    while(s>='0'&&s<='9') {
        x=x*10+s-48;
        s=getchar();
    }
    x*=f;
}
il vd pr(ll x) {
    if(x<0) {
        putchar('-');
        x=-x;
    }
    if(x>9)
        pr(x/10);
    putchar(x%10+48);
}//快读快输不解释
il ll ksc(ll a,ll b,ll n) {//快速幂和快速积请看作者的另一篇博客
	ll ans=0;
	while(b) {
		if(b&1)
			ans=(ans+a)%n;
		a=(a<<1)%n;
		b>>=1;
	}
	rt ans;
}
il ll ksm(ll a,ll b,ll n) {
	ll ans=1;
	while(b) {
		if(b&1)
			ans=ksc(ans,a,n);
		a=ksc(a,a,n);
		b>>=1;
	}
	rt ans;
}
il bl miller_rabin(ll n) {//Miller_Rabin算法
	ll a,b,x,y,u,t;
	if(n==2)//看n是否为2
		rt 1;//为2就是质数
	else if(n<2||!(n&1))//小于2或是2的倍数
		rt 0;//不是质数
	for(t=0,u=n-1;!(u&1);t++,u>>=1);//求出u和t
	for(ll i=0;i<20;i++) {//这个20是可以想开多大就开多大的/*只要不超时*/
		a=rand()%(n-2)+2;//随机生成一个数
		x=ksm(a,u,n);//快速幂
		for(ll j=0;j<t;j++) {
			y=ksc(x,x,n);//快速积
			if(y==1&&x!=1&&x!=n-1)//二次探测定理
				rt 0;//不是质数
			x=y;//更新
		}
		if(x!=1)//费马小定理
			rt 0;//不是质数
	}
	rt 1;//有很大可能是质数
}
ll t,n,a;
int main() {
	srand((unsigned)time(NULL));
	read(t);
	while(t--) {
		read(n);
		if(miller_rabin(n))
			puts("YES");
		else
			puts("NO");
	}
}

大概就是这样了，有错误请指出，谢谢大家啦