博弈论复习

                        **巴什博弈**

一、题目类型:
只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规 定每次至少取一个，最多取m个。最后取光者得胜。

二、分析
1.n=m+1 先手必败，后手一定胜出 。无论先手如何选择,后手一定能把剩下的全部选完

2.n=(m+1)*r+s
结论: n%(m+1)==0 后手必胜 否则 先手必胜

证明:
先手拿走s个 剩余:n=(m+1)r
后手拿走k个 剩余:n=(m+1)(r-1) +(m+1)-k;
先手拿走m+1-k个 剩余:n=(m+1)(r-1)
因为后手面对这 n=(m+1)(r-1) 的状态，那么先手是一定必胜的

P/N图
n*n的图 从(1,n) 走到左下角，可以往左走，下走，左下走 。

分析如下:
P点：就是P个石子的时候，对方拿可以赢(自己输的)

N点：就是N个石子的时候，自己拿可以赢

现在关于P,N的求解有三个规则

（1）：最终态都是P

（2）：按照游戏规则，到达当前态的前态都是N的话，当前态是P

（3）：按照游戏规则，到达当前态的前态至少有一个P的话，当前态是N

                     **斐波那契博弈**

一、题目类型
有一堆石子，两个顶尖聪明的人玩游戏，先取者可以取走任意多个，但不能全取完，以后每人取的石子数不能超过上个人的两倍

二、分析
结论:先手必败，当且仅当石子数为斐波那契数

                    **威佐夫博弈**

一、题目类型
有两堆石子，数量任意，可以不同。游戏开始由两个人轮流取石子。游戏规定，每次有两种不同的取法，一是可以在任意的一堆中取走任意多的石子；二是可以在两堆中同时取走相同数量的石子。最后把石子全部取完者为胜者。现在给出初始的两堆石子的数目，如果轮到你先取，假设双方都采取最好的策略，问最后你是胜者还是败者。
二、分析
结论:
威佐夫博弈:当遇到奇异局势后手必胜，否则先手必胜
对于奇异局势求解表达式为:
tmp=floor(b-a)*((sqrt(5.0)+1)/2)
如果tmp==a 代表当前为奇异局势后手必胜，否则先手必胜

                    **尼姆博弈**

一、题目类型
当有n堆物品时，每堆最少取一个，最多全部取完。
二、分析
结论:
当先手处于奇异局势时，先手必败。比如(1,2,3)不管怎么取先手都是必败的
奇异局势的性质： x1xor x2 xor x3 xor x4 xor x5=0 说明是奇异局势，先手必败
那么非奇异局势如何变成奇异局势
假设现在有三堆(a,b,c)
奇异局势的条件:a ^ b ^ c=0
对于非奇异局势，我们需要将c变为 (a xor b)
那么 a xor b xor (a xor b ) = a xor a xor b xor b =0;
那么c= (a xor b) 就等于 c-(a xor b) (c> (a xor b ) )

                           **SG函数**

memset(sg,0,sizeof sg);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		memset(S,0,sizeof S);
		for(int j=0;f[j]<=i&&j<N;j++) S[sg[i-f[j]]]=1;
		for(int j=0;;j++)
		{
			if(!S[j]) 
			{
				sg[i]=j;
				break;
			}
		}
	}