【数论】指数取余

题目描述
输入整数m,n,k,求mn mod k的值。m,n,k*k为长整型范围内的自然数。

输入
输入一行3个整数,分别为m,n和k。

输出
输出一行一个整数,表示结果。

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样例输出
7

在这里插入图片描述

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long int ll;
int main()
{
  ll m,n,k;
  cin>>m>>n>>k;
  ll res=1%k;
  while(n)
  {
    if(n&1) res=res*m%k;
    m=m*m%k;
    n>>=1;
  //  cout<<res<<endl;
  }
  cout<<res<<endl;
}

在 C++ 中,求解最小原根(Least Common Multiple of the Exponents,LCM)并基于这个结果构建指数表通常涉及到数论的概念。最小原根是模幂运算中的关键元素,它使得所有给定底数对某个模数模后的幂可以统一表示。 首先,我们来解释一下: 1. **最小原根**:对于模数 p 的非平凡真除数(即除了 1 和 p 自身以外的整数),存在一个最小正整数 g,满足 \( g^{\phi(p)} \equiv 1 \mod p \),其中 \(\phi\) 是欧拉函数,计算的是小于或等于 p 的正整数中与 p 互质的数的数量。g 就是 p 下的最小原根。 2. **指数表**:如果有一个列表 [base1, base2, ..., basen] 和它们相应的指数 [exp1, exp2, ..., expn],我们可以用最小原根来简化表达式 \( (base_i)^{exp_i} \mod p \)。通过将每个指数对 \(\phi(p)\) ,然后乘以 \(g^{(exp_i \mod \phi(p))}\) 来得到简化后的形式。 下面是简单的步骤实现: ```cpp #include <vector> #include <math.h> // 计算欧拉函数 phi(p) long long phi(long long p) { if (p == 1) return 0; for (long long i = 2; i * i <= p; ++i) { if (p % i == 0) { p /= i; while (p % i == 0) { p /= i; } return p - 1; } } return p - 1; } // 求解最小原根 long long findMinimalRoot(long long p) { for (long long g = 2; g < p; ++g) { if (gcd(g, p) == 1 && power_mod(g, phi(p), p) == 1) { return g; } } throw std::runtime_error("Failed to find minimal root."); } // 计算指数表 std::vector<long long> computeExponentTable(const std::vector<std::pair<long long, long long>>& bases_and_exps, long long p, long long root) { std::vector<long long> result(bases_and_exps.size()); for (size_t i = 0; i < bases_and_exps.size(); ++i) { result[i] = power_mod(bases_and_exps[i].first, bases_and_exps[i].second % phi(p), p) * power_mod(root, bases_and_exps[i].second / phi(p), p); } return result; } // 模幂运算 helper function long long power_mod(long long a, long long n, long long mod) { long long res = 1; a %= mod; while (n > 0) { if (n & 1) { res = (res * a) % mod; } a = (a * a) % mod; n >>= 1; } return res; } // 示例 int main() { long long p = 7; // 选择一个模数 std::vector<std::pair<long long, long long>> bases_and_exps {{2, 4}, {3, 6}}; // 底数和指数对 try { long long root = findMinimalRoot(p); auto result = computeExponentTable(bases_and_exps, p, root); // 输出结果 for (auto& entry : result) { std::cout << "(((" << entry << ")) mod " << p << ") = " << entry << "\n"; } } catch (const std::exception& e) { std::cerr << "Error: " << e.what() << '\n'; } return 0; } ``` 在这个示例中,`findMinimalRoot()` 函数用于找到最小原根,`computeExponentTable()` 则是基于最小原根来生成指数表。
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