数论(指数取余)

费马小定理(Fermat Theory)是数论中的一个重要定理,其内容为: 假如p是质数,且gcd(a,p)=1,那么
a(p-1)≡1(mod
p)。即:假如a是整数,p是质数,且a,p互质(即两者只有一个公约数1),那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。


蒙哥马利幂模运算
RSA算法的核心之一

long long pows(int a, int b, int mod){
    long long temp = 1;
    while(b){
        if(b%2){
            temp = temp*a%mod;
        }
        a = a*a%mod;
        b/=2;
    }
    return temp;
}
### 蓝桥杯数论算法题解法 蓝桥杯竞赛中的数论问题通常涉及基础数学理论的应用,例如最大公约数、最小公倍数、质因数分解、模运算等内容。以下是关于蓝桥杯数论相关问题及其常见解法的详细介绍。 #### 1. 最大公约数 (GCD) 和最小公倍数 (LCM)数论中,计算两个整数的最大公约数是一个经典问题。可以使用欧几里得算法高效求解[^3]。该算法的核心思想是通过辗转相除法逐步缩小问题规模,直到找到两数的最大公约数为止。 代码实现如下: ```python def gcd(a, b): while b != 0: a, b = b, a % b return a ``` 对于最小公倍数的计算,则可以通过以下公式完成: \[ \text{LCM}(a, b) = \frac{|a \cdot b|}{\text{GCD}(a, b)} \] #### 2. 快速幂算法 快速幂是一种高效的指数运算方法,在处理大规模幂次运算时非常有用。其核心思想是利用分治策略将指数拆分为更小的部分,从而降低时间复杂度至 \(O(\log b)\)[^4]。 快速幂的递归版本实现如下: ```python def fast_power(base, exponent, mod): if exponent == 0: return 1 result = fast_power((base * base) % mod, exponent // 2, mod) if exponent % 2 == 1: result = (result * base) % mod return result ``` #### 3. 阶乘与模运算 某些蓝桥杯题目可能要求计算阶乘的结果并对某个数模。由于阶乘增长迅速,直接计算可能会超出计算机存储范围。因此,可以在每次累乘时立即对目标模数,避免溢出[^5]。 示例代码如下: ```python mod = 10**9 n = 202320232023 s = 0 for i in range(1, n + 1): factorial_mod = 1 for j in range(1, i + 1): factorial_mod = (factorial_mod * j) % mod s = (s + factorial_mod) % mod print(s) ``` #### 4. 素数判定与筛法 素数问题是数论的重要组成部分之一。常见的素数判断方法有试除法和埃拉托斯特尼筛法。后者适用于批量筛选一定范围内所有的素数[^2]。 埃氏筛法的实现如下: ```python def sieve_of_eratosthenes(limit): is_prime = [True] * (limit + 1) p = 2 while p * p <= limit: if is_prime[p]: for multiple in range(p * p, limit + 1, p): is_prime[multiple] = False p += 1 primes = [i for i in range(2, limit + 1) if is_prime[i]] return primes ``` #### 5. 同定理应用 同定理常用于简化复杂的模运算问题。例如中国剩定理可用于解决多个线性同方程组的问题。这类问题在蓝桥杯比赛中也偶有出现[^1]。 ---
评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值