数论：二分快速取余

求12345^12345的所有约数（即因子）之和，并对其取模9901再输出。

key格式：CTF{xxx}

这里存在三个有趣的数学定理：

（1）整数唯一分解定理

（2）约数和公式

（3）同余模公式

上百度搞懂这三个公式就可以学习这道题目了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int size = 10000;
const int mod = 9901;

long int sum(long int p, long int n);
long int power(long int p, long int n);

int main()
{
    long int a, b;
    long int p[size];
    long int n[size];

    while(cin >> a >> b)
    {
        long int i, k = 0;
        for(i = 2; i * i <= a; )
        {
            if(a % i == 0)///一旦出现质因子
            {
                p[k] = i;///质因子是多少
                n[k] = 0;///质因子次数初始化
                while(!(a % i))///标记质因子能被整除的次数
                {
                    n[k]++;
                    a /= i;
                }
                k++;
            }

            ///素数刷一遍
            if(i == 2)///这么做是因为除了2以外，素数均为奇数
                i++;
            else
                i += 2;
        }
        if(a != 1)///特殊处理：这个数本身就是质数
        {
            p[k] = a;
            n[k++] = 1;
        }

        long int ans = 1;

        for(i = 0; i < k; i++)///普普通通地刷过一遍。。递归二分、反复平方是核心
        {
            ans = (ans * (sum(p[i], n[i] * b) % mod)) % mod;
            cout << ans << endl;
        }
    }
    return 0;
}

long int sum(long int p, long int n)///递归二分求等比序列
{
    if(n == 0)
        return 1;
    if(n % 2)///指数为奇
        return (sum(p, n / 2) * (1 + power(p, n / 2 + 1))) % mod;
    else///指数为偶
        return (sum(p, n / 2 - 1) * ( 1 + power(p, n / 2 + 1)) + power(p, n / 2)) % mod;
}

long int power(long int p, long int n)///反复平方
{
    long int sq = 1;
    while(n > 0)
    {
        if(n % 2)
            sq = (sq * p) % mod;///这么做就是为了奇次幂腾出来一个p
        n /= 2;
        p = p * p % mod;
    }
    return sq;
}