BZOJ1008 越狱组合数学（快速幂）

Huffman_Tree_

于 2019-07-24 10:25:10 发布

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该博客介绍了如何利用快速幂算法解决BZOJ1008越狱问题。在考虑组合数学的背景下，通过快速幂求模避免大数运算超出计算机取值范围，同时解释了取模的原理。例题给出了一个关于监狱中犯人宗教相同可能导致越狱的情景，计算了可能越狱的状态数，并提供了不越狱状态数的计算方法。最后，博主指出通过快速幂可以有效解决这类问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

快速幂

int pow(int a, int k)  { 
    int ans = 1;
    while(k)  {
        if(k &1)  ans *= a;   //判断奇偶只用判断最后一位比取模快
        a *= a;
        k >>=1;		//右移一位，即缩小一倍，比除法快多了
    }
    return ans;
}

快速幂求模
如果超过计算机的取值范围了，那么快速取模的数可以是很大很大的数，因此需要进行取模。
由以上算法可以，最终的幂值就是各个值相乘，其中的某个乘式取模和算出整个值取模效果是一样的，效率更高。

int pow_mod(int a, int k,int mod)  { 
     int ans = 1%mod;
     while(k)  {
         if(k &1)  ans =(long long) ans*a%mod;  ////为了使数字不会超过最大值，所以每次都取模
         a = (long long)a*a%mod;
         k >>=1;  //右移一位，即缩小一倍，比除法快多了
     }
     return ans;
 }

取模解释：
//2^n = 13 ，拆分成 13 = 1 + 4 + 8，即 2^13 = 2^1 * 2^4 * 2^8。
//所以在下面两处取模对结果没有影响。
//取模，防止进行稍微大点的数运算时超过取值范围。

例题：
BZOJ1008 越狱组合数学
Description
监狱有连续编号为1…N的N个房间，每个房间关押一个犯人，有M种宗教，每个犯人可能信仰其中一种。如果相邻房间的犯人的宗教相同，就可能发生越狱，求有多少种状态可能发生越狱

Input
输入两个整数M，N.1<=M<=10^8,1<=N<=1012

Output
可能越狱的状态数，模100003取余

Sample Input
2 3
Sample Output
6
HINT

6种状态为(000)(001)(011)(100)(110)(111)

n个房间 m种宗教，总状态数即m^n
若不越狱，即相邻房间的两个人宗教不同，所以第一个人有m种选择，
则后面的每一个人都有m-1种选择，
所以不越狱的状态总数等于m(m-1)^(n-1);
所以越狱的状态数就为m^n -m(m-1)^(n-1)。

解决了这个问题后，快速幂解决就好了。

#include<cstdio>
#define mod 100003
#define ll long long
using namespace std;
ll m,n;
ll qpow(ll a,ll b)
{
    ll c=1,d=a%mod;
    while (b>0)
    {
        if (b&1)
         c=((c%mod)*(d%mod))%mod;
        b>>=1;
        d=((d%mod)*(d%mod))%mod;
    }
    return c;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&m,&n);
    long long ans=qpow(m,n);
    ans=ans-m*qpow(m-1,n-1)%mod;
    if (ans<0)   ans+=mod;
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}