算法分析与设计学习笔记--3

分治法的设计思想
将一个难以直接解决的大问题，划分成一些规模较小的子问题，以便各个击破，分而治之。更一般地说，将要求解的原问题划分成k个较小规模的子问题，对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够小，则再将每个子问题划分为k个规模更小的子问题，如此分解下去，直到问题规模足够小，很容易求出其解为止，再将子问题的解合并为一个更大规模的问题的解，自底向上逐步求出原问题的解。
启发式规则：

1. 平衡子问题：最好使子问题的规模大致相同。也就是将一个问题划分成大小相等的k个子问题（通常k＝2），这种使子问题规模大致相等的做法是出自一种平衡（Balancing）子问题的思想，它几乎总是比子问题规模不等的做法要好。
2. 独立子问题：各子问题之间相互独立，这涉及到分治法的效率，如果各子问题不是独立的，则分治法需要重复地解公共的子问题。
   分治法的典型情况

分治法的求解过程
一般来说，分治法的求解过程由以下三个阶段组成：
（1）划分：既然是分治，当然需要把规模为n的原问题划分为k个规模较小的子问题，并尽量使这k个子问题的规模大致相同。
（2）求解子问题：各子问题的解法与原问题的解法通常是相同的，可以用递归的方法求解各个子问题，有时递归处理也可以用循环来实现。
（3）合并：把各个子问题的解合并起来，合并的代价因情况不同有很大差异，分治算法的有效性很大程度上依赖于合并的实现。

递归有意思的例题：汉诺塔问题
汉诺塔问题可以通过以下三个步骤实现：
（1）将塔A上的n-1个碟子借助塔C先移到塔B上。
（2）把塔A上剩下的一个碟子移到塔C上。
（3）将n-1个碟子从塔B借助塔A移到塔C上。
显然，这是一个递归求解的过程

——汉诺塔算法
void Hanoi(int n, char A, char B, char C)
//第一列为语句行号
{
if (n==1) Move(A, C);
//Move是一个抽象操作，表示将碟子从A移到C上
else {
Hanoi(n-1, A, C, B);
Move(A, C);
Hanoi(n-1, B, A, C);
}
}
快速排序
快速排序的分治策略是：
（1）划分：选定一个记录作为轴值，以轴值为基准将整个序列划分为两个子序列r1 … ri-1和ri+1 … rn，前一个子序列中记录的值均小于或等于轴值，后一个子序列中记录的值均大于或等于轴值；
（2）求解子问题：分别对划分后的每一个子序列递归处理；
（3）合并：由于对子序列r1 … ri-1和ri+1 … rn的排序是就地进行的，所以合并不需要执行任何操作。
归并排序按照记录在序列中的位置对序列进行划分，
快速排序按照记录的值对序列进行划分。

以第一个记录作为轴值，对待排序序列进行划分的过程为：
（1）初始化：取第一个记录作为基准，设置两个参数i，j分别用来指示将要与基准记录进行比较的左侧记录位置和右侧记录位置，也就是本次划分的区间；
（2）右侧扫描过程：将基准记录与j指向的记录进行比较，如果j指向记录的关键码大，则j前移一个记录位置。重复右侧扫描过程，直到右侧的记录小（即反序），若i＜j，则将基准记录与j指向的记录进行交换；
（3）左侧扫描过程：将基准记录与i指向的记录进行比较，如果i指向记录的关键码小，则i后移一个记录位置。重复左侧扫描过程，直到左侧的记录大（即反序），若i＜j，则将基准记录与i指向的记录交换；
（4）重复（2）（3）步，直到i与j指向同一位置，即基准记录最终的位置。

——一次划分
int Partition(int r[ ], int first, int end)
{
i=first; j=end; //初始化
while (i<j)
{
while (i<j && r[i]<= r[j]) j–； //右侧扫描
if (i<j) {
r[i]←→r[j]; //将较小记录交换到前面
i++;
}
while (i<j && r[i]<= r[j]) i++； //左侧扫描
if (i<j) {
r[j]←→r[i]; //将较大记录交换到后面
j–;
}
}
retutn i; // i为轴值记录的最终位置
}
——快速排序
void QuickSort(int r[ ], int first, int end)
{
if (first<end) {
pivot=Partition(r, first, end);
//问题分解，pivot是轴值在序列中的位置
QuickSort(r, first, pivot-1);
//递归地对左侧子序列进行快速排序
QuickSort(r, pivot+1, end);
//递归地对右侧子序列进行快速排序
}
}