分治法（合并排序）

分治算法策略：

    将原问题划分成n个规模较小而结构与原问题相似的子问题；递归地解决这些子问题，然后再合并其结果，就得到原问题的解。

分治模式步骤：

    分解（Divide)：将原问题分解成一系列子问题。

    解决（Conquer）：递归地解决各子问题。若子问题足够小，则直接求解。

    合并（Combine）：将子问题的结果合并成原问题的解。

合并排序算法完全依照了上述模式，直观地操作如下：

    分解：将n个元素分成各含n/2个元素的子序列；

    解决：用合并排序法对两个子序列递归地排序；

    合并：合并两个已排序的子序列以得到排序结果。

合并排序伪代码如下：

    

MERGE(A, p, q, r)
1  n1 ← q - p + 1
2  n2 ← r - q
3  create arrays L[1 ‥ n1 + 1] and R[1 ‥ n2 + 1]
4  for i ← 1 to n1
5       do L[i] ← A[p + i - 1]
6  for j ← 1 to n2
7       do R[j] ← A[q + j]
8  L[n1 + 1] ← ∞
9  R[n2 + 1] ← ∞
10  i ← 1
11  j ← 1
12  for k ← p to r
13       do if L[i] ≤ R[j]
14             then A[k] ← L[i]
15                  i ← i + 1
16             else A[k] ← R[j]
17                  j ← j + 1

图示如下：

使用递归方法进行排序：

伪代码如下：

MERGE-SORT(A, p, r)
1 if p < r
2   then q ← ⌊(p + r)/2⌋
3        MERGE-SORT(A, p, q)
4        MERGE-SORT(A, q + 1, r)
5        MERGE(A, p, q, r)

整个过程可以用下图来表示：

分治法分析：

分治法的递归式可以把原问题分解成a个子问题，每一个的大小是原问题的1/b。如果分解该问题和合并解的时间各为D(n)和C(n)，则得到递归式：

合并排序算法的分析：

    第一层有一个节点，第二层2各节点，以此类推，第i层有2ⁱ个节点。

    由于第i层的节点个数为n，也就是:2ⁱ=n， 所以i=lgn。

    这个二叉树的层数为：lg n + 1。

    每层得代价都是cn,所以整棵树的总代价就是：

     cn(lg n + 1) = cn lg n + cn

    忽略低阶项和常量c,即得到结果：

    Θ(n lgn).

    这就是合并排序的算法复杂度。