回溯法——全排列问题

1、问题描述

给定一组不包含重复元素的集合 { s 1 , s 2 ， … s n } \{s_1,s_2，…s_n\} {s1​,s2​，…sn​} ，求这个集合中所有元素能构成的全排列。

2、问题分析

构造一个全排列相当于向 n 个空位不放回地填放集合中的元素，第 $i$ 个位置有 $n-i+1$ 种选择。所以问题的解空间是一个树结构（如下图所示）。每一个从根节点到叶节点的路径即为一个全排列。因此可以通过遍历树的叶节点，记录从根节点到叶节点的每条路径，得到全排列。

通过回溯法对解空间的树结构进行遍历，伪代码如下：

bool flag[len]	/* 标记某个元素是否被使用 */
type buff[len]	/* 记录数据 */

/* backtrack: 回溯函数
    1. len：集合 {s_1,s_2，…s_n} 中元素的个数，为 n
    2. depth：当前遍历到的树的深度，root 为 0，最大为 n
    3. sequence：当前的路径
*/
void backtrack(len, depth，sequence)
{
    if len = depth
        then save(sequence)
        return
    for i <- 0 to len do
        if flag[i] = false	/* 第 i 个元素还未被使用 */
            /* 选择一个分支 */
            flag[i] = true
            sequence[depth] = buff[i]
            /* 递归遍历 */
            backtrack(len, depth + 1, sequence)
            /* 回溯 */ 
            flag[i] = flase
            sequence[depth] = null
     end    
}

分析过程发现，如果初始时$[s_1,s_2,\dots ,s_n]$ 按字典序排列，则全排列的保存的序列也是按字典序排列的。

3、代码示例

以字符串的全排列为例（不包含重复字符）字符串最长为 6。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstring>
using namespace std;

bool flag[6];
char buff[6];
int len;

void backtrack(vector<vector<char>> &res, vector<char> &seq, int idx)
{
    if (idx == len)
    {
        res.push_back(seq);
        return;
    }
    for (size_t i = 0; i < len; i++)
    {
        if (flag[i] == false)
        {
            // 尝试路径
            flag[i] = true;
            seq.push_back(buff[i]);
            // 递归
            backtrack(res, seq, idx + 1);
            // 恢复现场
            seq.pop_back();
            flag[i] = false;
        }
    }
}

int main(int argc, char const *argv[])
{
    scanf("%s", buff);
    len = strlen(buff);
    memset(flag, false, sizeof(flag));
    
    vector<vector<char>> res;	// 二维嵌套 vector 保存所有的全排列
    vector<char> seq;	// 记录单个全排列
    backtrack(res, seq, 0);
    
    /* 打印输出 */
    for (size_t i = 0; i < res.size(); i++)
    {
        for (size_t j = 0; j < res[i].size(); j++)
        {
            cout << res[i][j]; 
        }
        cout << endl;
    }
    
    return 0;
}