《剑指offer》面试题14：剪绳子

题目：给你一根长度为n的绳子，请把绳子剪成m段（m、n都是整数，n>1,m>1），每段绳子的长度记为k[0],k[1],……,k[m]。请问k[0]k[1]……*k[m]可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别是2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

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思路：

其实这就是动态规划法，以下是动态规划法的几个特点：

1.求一个问题的最优解

2.整体问题的最优解依赖各子问题的最优解

3.小问题之间还有相互重叠的更小的子问题

4.为了避免小问题的重复求解，采用从上往下分析和从下往上求解的方法求解问题

java参考代码如下：

package chapter2;

public class P96_CuttingRope {
    public static int maxCutting(int length){
        if(length<2) return 0;
        if(length==2)return 1;
        if(length==3)return 2;
        int[] dp = new int[length+1];
        dp[0]=0;//仅仅为后续迭代服务，看成单独长度，与上面返回的值不冲突
        dp[1]=1;
        dp[2]=2;
        dp[3]=3;
        for(int i=4;i<=length;i++){
            for(int j=1;j<=i/2;j++) {
                dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] * dp[i - j]);
            }
        }
        return dp[length];
    }
    public static void main(String[] args){
        for(int i=2;i<10;i++){
            System.out.println("长度为"+i+"的最大值->"+maxCutting(i));
        }
    }
}

C++参考代码如下：

int maxProductAfterCutting_solution1(int length)
{
	if(length<2) return 0;
	if(length==2) return 1;
	if(length==3) return 2;

	int* products=new int[length+1]；
	 products[0]=0;
	 products[1]=1;
	 products[2]=2;
	 products[3]=3;

	int max=0;
	for(int i=4;i<=length;++i)
	{
		max=0;
		for(int j=1;j<=i/2;++j)
		{
			int product=products[j]*products[i-j];
			if(max<product)
				max=product;
			product[i]=max;
		}
	}

	max=product[length];
	delete[] products;

	return max;
}

在上述代码中，子问题的最优解存储在数组products里。数组中第i个元素表示把长度为i的绳子剪成若干段之后各段长度乘积的最大值，即f（i）。我们注意到代码中第一个for循环变量i是顺序递增的，这意味着极端顺序是自下而上的。因此在求f（i）之前，对于每一个j（0<i<j），f（j）都已经求解出来了，并且结果保存在projects[j]里。为了求解f（i），我们需要求所有可能的f（j）*f（i-j）并比较得出他们的最大值。这就是代码中第二个for循环的功能。

贪婪算法思想的参考代码：

int maxProductAfterCutting_solution2(int length)
{
	if(length<2) return 0;
	if(length==2) return 1;
	if(length==3) return 2;

	//尽可能多的剪去长度为3的绳子段
	int timesOf3=length/3;

	//当绳子最后剩下的长度为4的时候，不能再剪去长度为3的绳子段。
	//此时更好的方法是把绳子段剪成长度为2的两段，因为2x2>1x3
	if(length-timesOf3==1)
		--timesOf3;

	int timesOf2=(length-timesOf3*3)/2;

	return (int)(pow(3,timesOf3))*(int)(pow(2,timesOf2));
}

接下来我们证明这种思路的正确性。首先，当n>=5的时候，我们可以证明2（n-2）>n并且3（n-3）>n。也就是说，当绳子剩下的长度大于等于5的时候，我们就把它剪成长度为3或者2的绳子段。另外，当n>=5时，3（n-3）>2（n-2），因此我们应该尽可能多剪长度为3的绳子段。当n=4时，剪成2x2的两段。

测试用例

a.功能测试（绳子的初始长度大于5）。
b.边界值测试（绳子的初始长度分别为0、1、2、3、4）。

参考：

https://www.jianshu.com/p/63b780a3157a
https://www.cnblogs.com/yongh/p/9660802.html