【剑指offer】面试题14 剪绳子

1.考点

• 考点1：动态规划：核心思想为“从上到下分析问题，从下往上解决问题”，另外的三个特性为：① 求一个问题的最优解（最大值/最小值）；② 整体最优解 = 各个子问题的最优解相加； ③ 小问题之间有共同的各个子小问题；这些是动态规划的特性，在分析问题时可以从这些角度来考虑，当然核心思想不仅仅只用在这些问题，可以用在很多相关问题里。（比如推导出了递推类公式：f(n) = max(f(i)*f(n-i)），其中0<i<n，然后从下往上地对问题进行解决）
• 考点2：贪心算法：说穿了就是不断地取局部最优解，无论是剪绳子还是背包问题之类的，在循环中不断地取当前最优的解，直到最后发现更好的解，或者达到了循环的限制完成，其根据不同的题目有不同的变化，还是要多看题。

2.代码

• 三种写法，第一种是动态规划，核心是理解f(2)与f(3)在作为主问题和子问题时的取值区别；第二种是参照书上的贪心算法写法，代码较为简洁；第三种是常规思路的贪心算法，在循环中不断选择当前的最优解（剪3），直到最后剪完或者到达4和2这两种特殊情况。

#include <iostream>
using namespace std;

//剪绳子问题，采用动态规划分析：“从上往下的分析问题，从下往上的解决问题”
//分析：作为主问题时f(n) = max(f(i)*f(n-i))，作为子问题时：f(n) = max(f(i)*f(n-i),n)，解决：f(1) = 0,f(2) = 1, f(3) = 2
int maxProductAfterCutting_solution1(int length)
{
	//当成主问题时，n = 2时，其最大只能为1*1，而当n = 3时，其最大也只能为2*1
	//但是当他们被当成子问题时f(2)max = 2, f(3)max = 3

	//以下为length <= 3，当成主问题的最优解
	if (length < 2)
		return 0;
	if (length == 2)
		return 1;
	if (length == 3)
		return 2;
	
	//以下为length >= 4时，当成子问题的最优解
	int* bestSubProblem = new int[length + 1];
	bestSubProblem[0] = 0;
	bestSubProblem[1] = 1;
	bestSubProblem[2] = 2;
	bestSubProblem[3] = 3;

	int max = 0;
	for (int i = 4; i <= length; i++)
	{
		max = 0;
		for (int j = 1; j <= i >> 1; j++)
		{
			int submax = bestSubProblem[j] * bestSubProblem[i - j];
			if (submax > max)
			{
				max = submax;
				bestSubProblem[i] = max;
			}
		}
	}
	max = bestSubProblem[length];
	//cout << "max:" << max << endl;
	delete[] bestSubProblem;
	return max;
}

int maxProductAfterCutting_solution2(int length)
{
	//以下为length <= 3，当成主问题的最优解
	if (length < 2)
		return 0;
	if (length == 2)
		return 1;
	if (length == 3)
		return 2;
	if (length == 4)
		return 4;

	//f(3) = 3是最大的单子问题存在，f(4)是最小的单主问题存在
	//贪心思想：当n>=5时，尽可能地去剪去长度为3的绳子，当n=4时，剪成长度为2的绳子
	//1.尽可能地将绳子减为3（由于参与剪3的都是大于5的，所以至少会有1个3被剪出来）
	int cut_three = length / 3;
	//2.判断最后被剪到的长度是不是1，如果是则使其回到4
	if (length - cut_three * 3 == 1)
		cut_three--;
	//3.将剩余的部分剪2（可能的情况有剩2和剩4）
	int cut_two = (length - 3 * cut_three) / 2;
	//4.计算最终最佳数字
	return pow(3, cut_three)*pow(2, cut_two);
}

int maxProductAfterCutting_solution3(int length)
{
	//以下为length <= 3，当成主问题的最优解
	if (length < 2)
		return 0;
	if (length == 2)
		return 1;
	if (length == 3)
		return 2;
	if (length == 4)
		return 4;

	int cut_three = 0;
	int cut_two = 0;
	while (length)
	{
		if (length != 4 && length != 2)
		{
			length -= 3;
			cut_three++;
		}
		else
		{
			cut_two = length / 2;
			break;
		}
	}
	return pow(3, cut_three)*pow(2, cut_two);
}