非线性系统【一】基本性质

非线性系统【一】基本性质

存在性和唯一性

对于一个初值问题：
$$\dot{x}=f(x,y),x(t_0)=x_0$$
Remark

• 我们要用该数学模型来刻画系统从$t_0$时刻开始后系统的运行轨迹，这就要求初值问题有且只有一个解。因为如果该问题没有解或者有多个解，那么我们就无法描述和分析系统未来的状态。
• 如果$f(t,x)$是同时关于$t$和%x%的连续函数，那么方程的解$x(t)$是连续可微的（连续可微指导函数也连续）。
• 在实际工程中，计算机往往是按照一定时间步长给被控系统控制信号，所以闭环系统不是关于时间连续的，而是关于时间分段连续的（Piecewise continuous）。因此我们重点研究方程$f(t,x)$ 是关于时间分段连续，关于$x$连续的情况。

定理3 局部存在性和唯一性

设$f(t,x)$对$t$分段连续，且满足Lipscitz条件：
$$||f(t,x)-f(t,y)||\le L||x-y||$$
∀x,y∈B={x∈Rn∣∥x−x0∥≤r},∀t∈[t0,t1]\forall x,y \in B=\{x\in R^n| \|x-x_0\|\le r\},\forall t\in [t_0,t_1]∀x,y∈B={x∈Rn∣∥x−x0​∥≤r},∀t∈[t0​,t1​],那么存在条件$\delta >0$,使得状态方程$\dot{x}=f(x,y),x(t_0)=x_0$在$[t_0,t_0+\delta ]$内有唯一解。

引理3.1

设$f:[a,b]\times D\to R^m$在某一定义域$D\subset R^n$内是连续的。假设$[\partial f/\partial x]$存在，且在$[a,b]\times D$上连续。如果对于一个凸子集$W\subset D$,存在一个常数$L\ge 0$使得在$[a,b]\times W$内有
$$||\frac{\partial f}{\partial x}(t,x)||\le L$$
那么对于所有的$t\in [a,b]，x\in W,y\in W$有
$$||f(t,x)-f(t,y)||\le L||x-y||$$
Remark

• 从该引理来看，可以说明一连续函数$f$在其关于$x$的偏导数有界的情况下，证明解的局部存在性和唯一性。
• 从偏导数角度证明局部存在性和唯一性的工具。

引理3.2

如果在某一定义域$D\subset R^n$内，$f(t,x)$和$[\partial f/\partial x](t,x)$在$[a,b]\times D$内是连续的，那么$f$在$[a,b]\times D$上对于x是局部Lipschitz的。
Remark

• 从这个引理来看，直接从函数及函数偏导数的连续性证明解的唯一性和存在性。

引理3.3

如果$f(t,x)$和$[\partial f/\partial x](t,x)$在$[a,b]\times R^n$上连续，那么当且仅当$[\partial f/\partial x](t,x)$在$[a,b]\times R^n$上一致有界时，$f$在$[a,b]\times R^n$上对于x是全局Lipshitz的

定理3.2 全局存在性和唯一性

假设$f(t,x)$对$t$分段连续，且满足$||f(t,x)-f(t,y)||\le L||x-y||$,$\forall x,y\in R^n,\forall t\in [t_0,t_1]$,状态方程$\dot{x}=f(x,y),x(t_0)=x_0$在$[t_0,t_1]$内有唯一解。

定理3.3

对于所有的$t\ge t_0$和定义域$D\subset R^n$内的$x$，$f(t,x)$对于$t$分段连续，对于$x$是局部Lipschitz的，并设$W$是$D$的一个紧子集，$x_0\in W$，并假设
$$\dot{x}=f(x,y),x(t_0)=x_0$$
的每个解都在$W$内，那么对于所有的$t\ge t_0$系统有唯一解。

解的封闭性

定理3.4

设$f(t,x)$在$[t_0,t_1]\times W$ 对于t分段连续，且对于x是Lipschitz的，Lipschitz常数为$L$,其中$W\subset R^n$是开连通集，设$y(t)$和$z(t)$分别是方程
$$\dot{y}=f(t,y),y(t_0)=y_0$$
和
$$\dot{z}=f(t,z)+g(t,z),z(t_0)=z_0$$
的解，对于所有$t\in [t_0,t_1]$有$y(t),z(t)\in W$。假设对于$\mu >0$有
$$||g(t,x)||\le \mu ,\forall (t,x)\in [t_0,t_1]\times W$$
那么
∣∣y(t)−z(t)∣∣≤∣∣y0−z0∣∣exp[L(t−t0)]+μL{exp[L(t−t0)]−1} ||y(t)-z(t)||\le ||y_0-z_0||exp[L(t-t_0)]+\frac{\mu}{L}\{exp[L(t-t_0)]-1 \} ∣∣y(t)−z(t)∣∣≤∣∣y0​−z0​∣∣exp[L(t−t0​)]+Lμ​{exp[L(t−t0​)]−1}
Remark

• 从该定理来看，在非线性系统中的意义在于，对于一个存在误差且误差有界的系统，关于该系统的真实解和理想情况下的“假”解在有限时间的范围内，误差是有界的。