使用二维泊松方程求解平行板电容器的电场研究（Matlab代码实现）

💥1 概述

使用二维泊松方程求解平行板电容器的电场研究

二维平行板电容器的横截面位于计算域的中心。采用二维有限差分法（FDM）算法求解泊松方程。第一幅图展示了计算得到的电势分布轮廓；第二幅图则详细展示了电场强度的轮廓；第三幅图以箭头图形式显示了电场的方向向量。

在本次研究中，我们深入探索了二维空间中平行板电容器电场特性的精确求解方法，聚焦于电容器横截面的核心区域，该区域巧妙地嵌入于我们的数值计算域的几何中心。为了精确描绘这一电磁现象，我们采用了经典的二维有限差分法（FDM），这是一种广泛认可且高度灵活的数值模拟技术，特别适合于处理如泊松方程这类偏微分方程的离散化问题，进而准确估算电位分布。

首先，呈现的第一幅图像生动地揭示了由FDM算法计算出的电势分布轮廓。该图色彩斑斓，每一色阶代表电势的一个特定区间，直观展示了电容器内部及其周围空间电势的平滑过渡与显著变化，清晰划分了高电势与低电势区域，为后续电场强度分析奠定了坚实基础。

紧接着，第二幅图像则是对电场强度分布的深度剖析。这张图以细腻的灰度层次细腻地勾勒出电场强度的细微差别，暗区与亮区的鲜明对比不仅映射出电场强度从极强至极弱的连续过渡，也精确指示出电场强度的最大值和最小值出现的位置，为理解电场的能量分布提供了宝贵的视觉信息。

最后，为了全方位展现电场的动态特性，第三幅图以箭头图的形式生动描绘了电场的方向向量场。每根箭头精确指向该点电场的方向，其长度直观反映了电场强度的大小，形成了一个错落有致、动态直观的矢量场。这不仅加深了对电场方向性理解，也为研究电荷在电场中受力运动规律提供了直观依据。

综上所述，本研究通过细致入微的二维有限差分法求解泊松方程，不仅定量分析了平行板电容器电场的分布特性，还通过一系列详尽图像，形象展现了电势、电场强度及其方向，为相关领域的理论研究与工程实践提供了有力的数据支持和可视化工具。

在电磁学中，平行板电容器是一个重要的模型，用于理解电场、电势差、电容等基本概念。虽然平行板电容器的电场分布可以通过高斯定理直接得出，但使用二维泊松方程（在静电场情况下简化为拉普拉斯方程）来求解可以提供一个更一般化的视角，尤其是在处理复杂边界条件或介质分布时。不过，需要注意的是，对于均匀介质中的平行板电容器，电场是均匀的，因此直接使用泊松方程可能显得过于复杂。不过，我们可以从理论角度探讨如何应用这种方法。

理论基础

在静电场中，没有自由电荷分布的区域，电场满足的方程是泊松方程的一个特例——拉普拉斯方程：

∇2φ=0

其中，φ 是电势。

对于平行板电容器，假设电容器由两块无限大的平行金属板构成，板间填充均匀介质，且金属板上的电荷分布均匀。在这种情况下，电场强度 E 是常数，电势差 V 与距离 d 的关系为 V=Ed。

假设与简化

为了应用二维泊松方程（或拉普拉斯方程），我们可以考虑一个二维平面，该平面与电容器板面平行，并位于两板之间。由于电场是均匀的，我们可以预期在这个二维平面上，电势的梯度（即电场）将是常数，且拉普拉斯方程将简化为一个边界值问题。

边界条件

金属板上的电势：假设上板电势为 V0，下板电势为 0（或任意常数差，这里取 0 为方便）。

无穷远处电势：由于电容器板是无限大的，我们可以认为在远离板的区域，电势趋于 0（或某一常数，但不影响内部电场分布）。

求解过程

在二维情况下，拉普拉斯方程可以写为：

∂x2∂2φ+∂y2∂2φ=0

但由于电场是均匀的，我们可以直接得出电势沿 x 方向（假设为平行于板的方向）是常数，而在 y 方向（垂直于板的方向）上，电势线性变化。

因此，电势可以表示为：

φ(y)=−dV0y+C

其中 C 是积分常数。由于下板电势为 0，当 y=d 时，φ=0，解得 C=V0。但这里需要注意，由于我们选择了下板电势为 0，实际上 C 应该为 0，因此：

φ(y)=−dV0y

结论

虽然在这个特定情况下（均匀介质、无限大平行板电容器），使用二维泊松方程求解显得复杂且不必要，但它展示了如何将静电场问题转化为求解偏微分方程的问题。在更复杂的情况下，如非均匀介质、有限尺寸的电容器或有复杂边界条件时，这种方法将变得非常有用。

此外，通过求解拉普拉斯方程，我们可以更深入地理解电场和电势的分布，以及它们如何受到边界条件的影响。

📚2 运行结果

部分代码：

​​% Enter the dimensions​​Nx = 101;     % Number of X-gridsNy = 101;     % Number of Y-gridsmpx = ceil(Nx/2); % Mid-point of xmpy = ceil(Ny/2); % Mid point of y   ​​Ni = 750;  % Number of iterations for the Poisson solver​​V = zeros(Nx,Ny);   % Potential (Voltage) matrix​​T = 0;            % Top-wall potentialB = 0;            % Bottom-wall potentialL = 0;            % Left-wall potentialR = 0;            % Right-wall potential​​%-------------------------------------------------------------------------%% Initializing edges potentials%-------------------------------------------------------------------------%​​V(1,:) = L;V(Nx,:) = R;V(:,1) = B;V(:,Ny) = T;​​%-------------------------------------------------------------------------%% Initializing Corner potentials%-------------------------------------------------------------------------%​​V(1,1) = 0.5*(V(1,2)+V(2,1));V(Nx,1) = 0.5*(V(Nx-1,1)+V(Nx,2));V(1,Ny) = 0.5*(V(1,Ny-1)+V(2,Ny));V(Nx,Ny) = 0.5*(V(Nx,Ny-1)+V(Nx-1,Ny));​​%-------------------------------------------------------------------------%​​​​length_plate = 51;  % Length of plate in terms of number of grids  lp = floor(length_plate/2);​​position_plate = 15; % Position of plate on x axispp1 = mpx+position_plate;pp2 = mpx-position_plate;​​for z = 1:Ni    % Number of iterations                for i=2:Nx-1        for j=2:Ny-1                              % The next two lines are meant to force the matrix to hold the             % potential values for all iterations                            V(pp1,mpy-lp:mpy+lp) = 100;                V(pp2,mpy-lp:mpy+lp) = -100;                                V(i,j)=0.25*(V(i+1,j)+V(i-1,j)+V(i,j+1)+V(i,j-1));        end        end        end​​% Take transpose for proper x-y orientationV = V';​​[Ex,Ey]=gradient(V);Ex = -Ex;Ey = -Ey;​​% Electric field Magnitude E = sqrt(Ex.^2+Ey.^2);  ​​x = (1:Nx)-mpx;y = (1:Ny)-mpy;​​% Contour Display for electric potentialfigure(1)

🎉3 参考文献

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[1]李飞,肖刘,刘濮鲲,等.电子离散发射模型的基础理论[J].强激光与粒子束, 2011, 23(008):2210-2214.DOI:10.3788/HPLPB20112308.2210.

[2]谌世媞.PN结的电容效应[J].四川师范学院学报：自然科学版, 1991, 12(2):192-196.

🌈4 Matlab代码实现

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