编程题-课程表（中等-重点）

题目：

你这个学期必须选修 numCourses 门课程，记为 0 到 numCourses - 1 。

在选修某些课程之前需要一些先修课程。 先修课程按数组 prerequisites 给出，其中 prerequisites[i] = [ai, bi] ，表示如果要学习课程 ai 则 必须 先学习课程  bi 。

• 例如，先修课程对 [0, 1] 表示：想要学习课程 0 ，你需要先完成课程 1 。

请你判断是否可能完成所有课程的学习？如果可以，返回 true ；否则，返回 false 。

前言

本题是一道经典的【拓扑排序】问题。给定一个包含n个节点的有向图，我们给出它的节点编号的一种排列，如果满足：

对于图G中的任意一条有向边(u, v)，u在排列中都出现在v的前面

那么称该排列是图G的拓扑排序。根据上述的定义，我们可以得出两个结论：

1、如果图G中存在环（即图G不是【有向无环图】，那么图G不存在拓扑排序。这是因为假设图中存在环），那么在排序中必须出现在的前面，但同时也必须出现在的前面，因此不存在一个满足要求的排列，也就不存在拓扑排序；

2、如果图G是有向无环图，那么它的拓扑排序可能不止一种。举一个最极端的例子，如果图G值包含n个节点却没有任何边，那么任意一种编号的排列都可以作为拓扑排序。

有了上述的节点分析，我们就可以将本题建模成一个求拓扑排序的问题了：

1、我们将每一门课看出一个节点；

2、如果想要学习课程A之前必须完成课程B，那么我们从B到A连接一条有向边。这样以来，在拓扑排序中，B一定出现在A的前面。

求出该图是否存在拓扑排序，就可以判断是否有一种符合要求的课程学习顺序。事实上，由于求出一种拓扑排序方法的最优时间复杂度是O(n+m)，其中n和m分别是有向图G的节点数和边数。而判断图G是否存在拓扑排序，至少也要对其进行一次完整的遍历，时间复杂度为O(n+m)。因此不可能存在一种仅判断图是否存在拓扑排序的方法，它的时间复杂度在渐进意义上严格优于O(n+m)。

解法一（深度优先搜索）：

我们可以将深度优先搜索的流程与拓扑排序的求解联系起来，用一个栈来存储所有已经搜索完成的节点。对于一个节点u，如果它的所有相邻节点都已经搜索完成，那么在搜索回溯到u的时候，u本身也会变成一个已经搜索完成的节点。这里的【相邻节点】指的是从u出发通过一条有向边可以到达的所有节点。

假设我们当前搜索到了节点u，如果它的所有相邻节点都已经搜索完成，那么这些节点都已经在栈中了，此时我们就可以把u入栈。可以发现，如果我们从栈顶往栈底的顺序看，由于u处于栈顶的位置，那么u出现在所有u的相邻节点的前面。因此对于u这个节点而言，它是满足拓扑排序要求的。这样以来，我们对图进行一遍深度优先搜索。当每个节点进行回溯的时候，我们把该节点放入栈中。最终从栈顶到栈底的序列就是一种拓扑排序。

深度优先搜索算法思路：对于图中的任意一个节点，它在搜索的过程中有三种状态，即：

1、【未搜索】：我们还没有搜索到这个节点；

2、【搜索中】：我们搜索过这个节点，但还没有回溯到该节点，即该节点还没有入栈，还有相邻的节点没有搜索完成；

3、【已完成】：我们搜索过并且回溯过这个节点，即该节点已经入栈，并且所有该节点的相邻节点都出现在栈的更底部的位置，满足拓扑排序的要求。

通过上述的三种状态，我们就可以给出使用深度优先搜索得到拓扑排序的算法流程，在每一轮的搜索开始时，我们任取一个【未搜索】的节点开始进行深度优先搜索。我们将当前搜索的节点u标记为【搜索中】，遍历该节点的每一个相邻节点v：

1、如果v为【未搜索】，那么我们开始搜索v，待搜索完成回溯到u；

2、如果v为【搜索中】，那么我们就找到了图中的一个环，因此是不存在拓扑排序的；

3、如果v为【已完成】，那么说明v已经在栈中了，而u还不在栈中，因此u无论何时入栈都不会影像到(u, v)之间的拓扑关系，以及不用进行任何操作。

4、当u的所有相邻节点都为【已完成】时，我们将u放入栈中，并将其标记为【已完成】。

在整个深度优先搜索的过程结束后，如果我们没有找到图中的环，那么栈中存储这所有的n个节点，从栈顶到栈底的顺序即为一种拓扑排序。由于我们只需要判断是否存在一种拓扑排序，而栈的作用仅仅是存放最终的拓扑排序结果，因此我们可以只记录每个节点的状态，而省去对应的栈。如下为实现代码：

class Solution {
private:
    //edges为有向边，visited为遍历的节点，valid表示是否是有向无环图
    //edges中第一层元素表示起点为u节点的所有相邻节点vector<int>（第二层元素）
    vector<vector<int>> edges;
    vector<int> visited;
    bool valid = true;
public:
    void dfs(int u) {
        //搜索中设置为1
        visited[u] = 1;
        //遍历所有其相邻节点，如果相邻节点均完成遍历则设置为2
        //若在遍历相邻节点时，其他相邻节点的visited状态为搜索中，则构成了环，不是有向无环图了
        for (int v: edges[u]){
            if (visited[v] == 0){
                dfs(v);
                if (!valid) {
                    return;
                }
            }
            else if (visited[v] == 1) {
                //设置valid为false，即不是有向无环图了
                valid = false;
                return;
            }
        }
        visited[u] = 2;
    }
    bool canFinish(int numCourses, vector<vector<int>>& prerequisites) {
        //通过对vector进行resize，可以用来增加或减少vector的元素个数
        edges.resize(numCourses);
        visited.resize(numCourses);
        //构建edges有向边，外层元素表示节点信息，内层元素表示外层节点所对应的其所有相邻节点
        for (const auto& info: prerequisites) {
            edges[info[1]].push_back(info[0]);
        }
        for (int i = 0; i < numCourses && valid; ++i) {
            //深度搜索遍历未访问的节点
            if (!visited[i]) {
                dfs(i);
            }
        }
        return valid;
    }
};

时间复杂度: O(n+m)，其中 n 为课程数，m 为先修课程的要求数。这其实就是对图进行深度优先搜索的时间复杂度。空间复杂度: O(n+m)。题目中是以列表形式给出的先修课程关系，为了对图进行深度优先搜索，我们需要存储成邻接表的形式，空间复杂度为 O(n+m)。在深度优先搜索的过程中，我们需要最多 O(n) 的栈空间（递归）进行深度优先搜索，因此总空间复杂度为 O(n+m)。

解法二（广度优先搜索）：

深度优先搜索方法是一种「逆向思维」：最先被放入栈中的节点是在拓扑排序中最后面的节点。我们也可以使用正向思维，顺序地生成拓扑排序，这种方法也更加直观。我们考虑拓扑排序中最前面的节点，该节点一定不会有任何入边，也就是它没有任何的先修课程要求。当我们将一个节点加入答案中后，我们就可以移除它的所有出边，代表着它的相邻节点少了一门先修课程的要求。如果某个相邻节点变成了【没有任何入边的节点】，那么就代表着这门课可以开始学习了。按照这样的流程，我们不断地将没有入边的节点加入答案，直到答案中包含所有的节点（得到一种拓扑排序）或者不存在没有入边的节点（图中包含环）。上面的想法类似于广度优先搜索，因此我们可以将广度优先搜索的流程与拓扑排序的求解联系起来。

广度优先搜索算法：我们使一个队列来进行广度优先搜索。初始时，所有入度为0的节点都被放入队列中，它们就是可以作为拓扑排序最前面的节点，并且它们之间的相对顺序是无关紧要。

在广度优先搜索的每一步中，我们取出队首的节点u:

1、我们将u放入答案中；

2、我们移除u的所有出边，也就是将u的所有相邻节点的入度减少1。如果某个相邻节点v的入度变为0，那么我们就将v放入队列中。

在广度优先搜索的过程结束后。如果答案中包含了这n个节点，那么我们就找到了一种拓扑排序，否则说明图中存在环，也就不存在拓扑排序了。由于我们只需要判断是否存在一种拓扑排序，因此我们省去存放答案数组，而是只用一个变量记录被放入答案数组的节点个数。在广度优先搜索结束之后，我们判断该变量的值是否等于课程数，就能知道是否存在一种拓扑排序，如下为实现代码：

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> edges;
    vector<int> indeg;
public:
    bool canFinish(int numCourses, vector<vector<int>>& prerequisites) {
        //通过对vector进行resize，可以用来增加或减少vector的元素个数
        edges.resize(numCourses);
        indeg.resize(numCourses);
        //构建edges有向边，外层元素表示节点（先修课程）信息，内层元素表示外层节点所对应的其所有相邻节点（需要修的课程）
        for (const auto& info: prerequisites) {
            edges[info[1]].push_back(info[0]);
            //通过indeg记录每个节点入度的数量情况（需要先修多少课程）
            ++indeg[info[0]];
        }
        //遍历所有初始节点关系，将初始所有入度为0的节点添加到队列q中
        queue<int> q;
        for (int i = 0; i < numCourses; ++i) {
            if (indeg[i] == 0) {
                q.push(i);
            }
        }
        //通过visited记录满足入度为0的所有节点的数量（在广度搜索时不断添加更新）
        int visited = 0;
        while (!q.empty()) {
            ++visited;
            int u = q.front();
            q.pop();
            //取出队列中一个入度为0的节点，并剔除其所有入度节点相邻节点的边
            for (int v: edges[u]) {
                --indeg[v];
                if (indeg[v] == 0) {
                    q.push(v);
                }
            }
        }
        return visited == numCourses;
    }
};

时间复杂度: O(n+m)，其中 n 为课程数，m 为先修课程的要求数。这其实就是对图进行广度优先搜索的时间复杂度。空间复杂度: O(n+m)。题目中是以列表形式给出的先修课程关系，为了对图进行广度优先搜索，我们需要存储成邻接表的形式，空间复杂度为 O(n+m)。在广度优先搜索的过程中，我们需要最多 O(n) 的队列空间（迭代）进行广度优先搜索。因此总空间复杂度为 O(n+m)。

笔者小记：

1、拓扑排序：是一种对有向图的顶点进行排序的方法，特别适用于有向无环图。拓扑排序的主要目标是排列图中的节点，使得每个节点都排在它所有的后继节点之前。拓扑排序在很多实际问题中都有应用，例如：1、任务调度：比如项目管理中的任务依赖关系，某个任务必须在另一个任务完成后才能开始；2、编译顺序：编程语言的编译过程中的模块依赖关系；3、课程安排：例如，课程安排中，某些课程需要先修其他课程。特性：有向图必须是无环图；不唯一：对于一个图，可能有多个有效的拓扑排序。

拓扑排序的两种常见算法：

1. Kahn算法（基于入度的算法）：

• 计算图中所有顶点的入度（即有多少条边指向该顶点）。
• 将所有入度为0的顶点加入队列。
• 每次从队列中取出一个入度为0的顶点，加入拓扑排序结果中，并将其所有的邻接顶点的入度减1。如果某个邻接顶点的入度变为0，将其加入队列。
• 这个过程持续进行，直到队列为空。

时间复杂度：O(V + E)，其中V是图中的顶点数，E是图中的边数。

2. 深度优先搜索（DFS）法：

• 对每个未被访问过的顶点，进行深度优先搜索。
• 在递归回溯的过程中，将顶点添加到栈中。
• 最终栈中的顶点顺序即为拓扑排序的结果。

时间复杂度：O(V + E)，其中V是图中的顶点数，E是图中的边数。

2、拓扑排序实现通过：深度优先搜索结合栈的数据结构实现，广度优先搜索结合队列数据结构实现。