第一章 概率论基本概念(a)

1. 随机实验

随机实验满足如下条件：

• 可以重复的进行实验（重复）.
• 每次实验结果不止一个，且知道实验的所有可能结果（已知）.
• 实验之前不能确定实验结果到底会出现所有结果中的哪一种情况（未知）.

满足以上三条特征，称之为随机实验.

例1.1：

抛一颗骰子，观察出现的点数.

1. 实验可能结果：{1，2，3，4，5，6}.
2. 在抛掷之前不能确定为哪个数.
3. 这个实验在相同条件下可以重复的进行.

例1.2：

在一批灯泡中抽取任意一只，测试它的温度.

1. 设灯泡的温度为 a，则有 {a₁,a₂,a₃,…a_n}.
2. 满足可重复抽取
   如：我们可以把当前抽取的灯泡再放回，再抽取随机抽取，设这种重复抽取次数为 n ,则我们可以重复抽取的次数为 n .
3. 在实验之前，我们不确定得到的温度到底是多少，不过温度属于{a₁,a₂,a₃,…a_n}中的某个值.

2. 样本空间和随机事件

（一）样本空间

• 在随机实验中的所有结果所组成的集合，我们通常叫做为E的样本空间，常用Ω表示
• 样本空间里面的元素，通常称为样本点.

例2.1:

抛一颗骰子，观察出现的点数.

设本次实验为E₁，样本空间为S₁，则有：

S ₁={1，2，3，4，5，6};

可以看出，在满足随机实验后，随机实验第二条的集合就是样本空间

（二）随机事件

• 随机试验E的样本空间S的子集为 随机事件，也简称 事件.

如：实验E₁的样本空间S₁={1，2，3，4，5，6}.

则随机事件有：{1}，{2}，{3}，{4}，{5}，{6}，{1，2}，{1，2，3}…

• 在每一次试验结束后，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一 事件发生.

如：样本空间S₁={1，2，3，4，5，6}，随机事件 S_k1={1，2，3}，在一次实验中，出现了样本点{1}，{1}∈S_k1，称为事件S_k1发生.

• 由一个样本点组成的单点集，称为 基本事件.

如：样本空间 E₁={1，2，3，4，5，6}，
设基本事件为B₁，则B₁={{1},{2},{3},{4},{5},{6}}，
也可以这样说，样本空间 E₁的基本事件有 {1}，{2}，{3}，{4}，{5}，{6}.

（三） 事件之间的关系与事件的运算

（A) 事件之间的关系

设试验 E 的样本空间为 S，而 A，B，A_k(k=1，2，…）是 S 的子集.

（1）包含

• A ⊂ B
  事件B包含事件A.
  事件A发生比必导致事件B发生.
  如下图：B 在 A 的内部，就可以表示为 B ⊂ A.
  
• A ⊂ B 且 B ⊂ A，有 A = B，称为事件 A 和事件 B 相等.

（2）事件之间的交集

• 事件 A ∪ B = { x | x ∈ A 或 x ∈ B }，称为事件 A 与事件 B 的 和事件，当且仅当 A，B 中至少一个发生时，事件 A ∪ B 发生.
  如下图：所有的橙色部分表示为 A ∪ B.
  
• 若 A ∪ B = S 且 A ∪ B = ∅，则称事件 A 与 事件 B互为 逆事件，也称事件 A 与事件 B 为 对立事件.
  ◆ 在一次试验中，事件 A 和事件 B 中必定有一个发生，且仅有一个发生.
  ◆ A 的对立事件为 ^~A, ^~A = S - A.
  如下图：表示为 B ∪ ^~B = S, B ∩ ^~B = ∅，蓝色部分为 ^~B，橙色部分为 B，S 为整个样本空间.

（3）事件之间的并集

• 事件 A ∩ B = { x | x ∈ A 且 x ∈ B } ，称事件 A 与事件 B 的 积事件，当事件 A，B 同时发生时，事件 A ∩ B 发生.
  A ∩ B 也记作 AB.
  如下图：深色部分表示为 A ∩ B.
  

• 若 A ∩ B = ∅，则称事件 A 与实践 B 是 互不相容的，或 互斥 的.
  ◆ 事件 A 和 B 不能同时发生.
  ◆ 基本事件两两互不相容.
  如下图：

（4）差事件

• 事件 A - B = { x | x ∈ A 且 x ∉ B }，称为事件 A 与事件 B 的 差事件.
  当事件 A 发生 B 不发生时，事件 A - B 发生.
  如下图：蓝色部分为 A - B.
  

（B）事件之间的运算

交换律：A ∪ B = B ∪ A；A ∪ B = B ∪ A.
结合律：A ∩ （ B ∪ C ）=（ A ∪ B ）∩ C.
               A ∪（ B ∩ C ）=（ A ∩ B ）∪ C.
分配律：A ∪（ B ∩ C）=（ A ∩ B）∪（ A ∩ B ）.
               A ∩ （ B ∪ C ）=（A ∪ B ）∩（ A ∪ C ）.
德摩根律：