【DP】序列

本文介绍了一种算法,用于计算给定N和k的情况下,长度为k的整数序列中,满足后一个数是前一个数倍数条件的“好序列”的数量。通过动态规划方法,使用二维数组f[i][j]记录状态,最终输出答案模1000000007。

题目描述

一个长度为k的整数序列b1,b2,…,bk(1≤b1≤b2≤…≤bk≤N)称为“好序列”当且仅当后一个数是前一个数的倍数,即bi+1是bi的倍数对任意的i(1≤i≤k-1)成立。
给定N和k,请算出有多少个长度为k的“好序列”,答案对1000000007取模。

思路

f[i][j]为序列第i个数为j的可能数。
kk枚举下一位数是这个的多少倍。
备注:如果用除法的话可能会TLE?

#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int n,k,f[2001][2001];
long long ans=0;
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&k);
	for(int i=1;i<=n;++i)
	  f[1][i]=1;
	for(int i=1;i<k;++i)
		for(int j=n;j>=1;--j)
			for(int kk=1;kk*j<=n;++kk)
			   f[i+1][kk*j]=(f[i+1][kk*j]+f[i][j])%1000000007;
	for(int i=1;i<=n;++i)
	  ans=(ans+f[k][i])%1000000007;
	printf("%d",ans);
}
### 序列动态规划概述 序列动态规划是一种针对序列结构问题的优化方法,通常用于解决与字符串、数组、子序列等相关的最优化问题。它将问题分解为多个阶段,每个阶段的状态表示与序列的某个位置相关的解信息,通过状态转移方程逐步构建最优解。 ### 常见算法与类型 #### 1. 最长递增子序列(LIS) 最长递增子序列问题是序列动态规划中的经典问题,目标是找出一个序列中最长的递增子序列。状态定义通常为 `dp[i]` 表示以第 `i` 个元素结尾的最长递增子序列长度。状态转移方程为: ```python dp[i] = max(dp[j] + 1 for j in range(i) if nums[j] < nums[i]) ``` 初始条件为每个 `dp[i]` 初始化为 1,因为每个元素本身可以构成一个长度为 1 的递增子序列 [^3]。 #### 2. 最长公共子序列(LCS) 最长公共子序列用于比较两个序列的相似性,找出它们的最长公共子序列。状态定义为 `dp[i][j]` 表示第一个序列前 `i` 个元素和第二个序列前 `j` 个元素的最长公共子序列长度。状态转移方程为: ```python if s1[i-1] == s2[j-1]: dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1 else: dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) ``` 初始条件为 `dp[0][j]` 和 `dp[i][0]` 都为 0 [^4]。 #### 3. 最长有效括号 该问题用于找出字符串中最长的有效括号子串长度。状态定义为 `dp[i]` 表示以第 `i` 个字符结尾的最长有效括号长度。状态转移方程为: ```python if s[i] == ')': if s[i-1] == '(': dp[i] = dp[i-2] + 2 if i >= 2 else 2 else: prev = i - dp[i-1] - 1 if prev >= 0 and s[prev] == '(': dp[i] = dp[i-1] + 2 if prev > 0: dp[i] += dp[prev-1] ``` 初始条件为所有 `dp[i]` 初始化为 0 [^2]。 #### 4. 编辑距离 编辑距离用于计算将一个字符串转换为另一个字符串所需的最少操作次数(插入、删除、替换)。状态定义为 `dp[i][j]` 表示将第一个字符串的前 `i` 个字符转换为第二个字符串的前 `j` 个字符所需的最小操作次数。状态转移方程为: ```python if word1[i-1] == word2[j-1]: dp[i][j] = dp[i-1][j-1] else: dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]) + 1 ``` 初始条件为 `dp[0][j] = j` 和 `dp[i][0] = i` [^3]。 ### 应用场景 #### 1. 字符串匹配与处理 最长公共子序列和编辑距离广泛应用于文本处理、拼写检查、DNA序列比对等领域。它们能够有效衡量两个字符串之间的相似性,并提供修改路径。 #### 2. 数据分析与模式识别 最长递增子序列可用于分析时间序列数据,识别趋势和模式。例如,在股票价格数据中找出最长的递增趋势。 #### 3. 编译器与括号匹配 最长有效括号问题常用于编译器设计中的语法检查,确保括号正确闭合。 ### 例题解析 #### 示例:最长公共子序列 ```python def longestCommonSubsequence(text1: str, text2: str) -> int: m, n = len(text1), len(text2) dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)] for i in range(1, m + 1): for j in range(1, n + 1): if text1[i-1] == text2[j-1]: dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1 else: dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) return dp[m][n] ``` 该实现利用二维动态规划表,逐步构建最长公共子序列长度。 #### 示例:最长有效括号 ```python def longestValidParentheses(s: str) -> int: n = len(s) dp = [0] * n max_len = 0 for i in range(1, n): if s[i] == ')': if s[i-1] == '(': dp[i] = dp[i-2] + 2 if i >= 2 else 2 else: j = i - dp[i-1] - 1 if j >= 0 and s[j] == '(': dp[i] = dp[i-1] + 2 if j > 0: dp[i] += dp[j-1] max_len = max(max_len, dp[i]) return max_len ``` 该实现通过一维动态规划数组,记录以每个位置结尾的最长有效括号长度。
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