arc 076 d 题解 Exhausted?

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首先一个二分图的最大匹配=
∣ X ∣ − m a x { ∣ W ∣ − ∣ N G ( W ) ∣ } ( W ∈ X ) |X|-max\{|W|-|N_G(W)|\} (W\in X) ∣X∣−max{∣W∣−∣NG​(W)∣}(W∈X)
如果一个集合$W$满足了那个max,也就是再加新的$|N_G(W)|增加的比|W|$快。
根据HMT可知剩下的存在匹配。
然后就可以发现对于任意的$W$,$N_G(W)$是两段连续的区间:
$[1,l]+[r,|Y|]$组合而成。
这么看来, ∣ N G ( W ) ∣ = ∣ Y ∣ − m a x ( 0 , m i n { r x } − m a x { l y } ) ( y , x ∈ W ) |N_G(W)|=|Y|- max(0,min\{r_x\}-max\{l_y\})(y,x \in W) ∣NG​(W)∣=∣Y∣−max(0,min{rx​}−max{ly​})(y,x∈W)
m i n { r x } − m a x { l y } min\{r_x\}-max\{l_y\} min{rx​}−max{ly​}其实就是$N_g(W)$中间空出来的大小,一下用$empty$表示。
把最上面的式子转换一下:
∣ X ∣ − m a x { ∣ W ∣ − ∣ Y ∣ + e m p t y } ( W ∈ X ) |X|-max\{|W|-|Y|+empty\} (W\in X) ∣X∣−max{∣W∣−∣Y∣+empty}(W∈X)
显然可以把|Y|提出来：
∣ X ∣ + ∣ Y ∣ − m a x { ∣ W ∣ + e m p t y } ( W ∈ X ) |X|+|Y|-max\{|W|+empty\} (W\in X) ∣X∣+∣Y∣−max{∣W∣+empty}(W∈X)
所以如果确定了empty的大小，就取用最大的$|W|$去满足。
假设我们固定了empty的右边界R。
则可以选用的所有可以在W里的值都必须满足以下性质:
$$R_x\ge L$$
这样如果把所有可以选的x按照右边界的从小到大排个序:
$x_1,x_2...,x_m$，可以发现如果$x_i$被选$x_j(j<i)$全部选上不会使答案变的更差只会变好。有人可能会问了如果选上的数组成的empty的右边界不是R,怎么办呢？
其实仔细想一想就会发现这样的情况会被更优的答案覆盖。
这样就会做了。

代码：

/*
AuThOr Gwj
*/
#include<bits/stdc++.h>
#define rb(a,b,c) for(int a=b;a<=c;++a)
#define rl(a,b,c) for(int a=b;a>=c;--a)
#define LL long long
#define IT iterator
#define PB push_back
#define II(a,b) make_pair(a,b)
#define FIR first
#define SEC second
#define FREO freopen("check.out","w",stdout)
#define rep(a,b) for(int a=0;a<b;++a)
#define KEEP while(1)
#define SRAND mt19937 rng(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count())
#define random(a) rng()%a
#define ALL(a) a.begin(),a.end()
#define POB pop_back
#define ff fflush(stdout)
#define fastio ios::sync_with_stdio(false)
#define debug_pair(A) cerr<<A.FIR<<" "<<A.SEC<<endl;
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
typedef pair<int,int> mp;
typedef pair<mp,mp> superpair;
int n,m;
const int MAXN=1<<18;
int tree[MAXN*8],val[MAXN*8];
void increase(int a){
	a+=MAXN-1;
	tree[a]++;
	val[a]=tree[a]-(a-MAXN+1);
	a>>=1;
	while(a){
		tree[a]=tree[a<<1]+tree[(a<<1)+1];
		val[a]=max(val[a<<1],val[(a<<1)+1]+tree[a<<1]);
		a>>=1;
	}
}
int query(int a,int b,int now=1,int l=1,int r=MAXN+1){
	if(r<=a||l>=b){
		return -INF;
	}
	if(r<=b&&l>=a){
		return val[now];
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	return max(query(a,b,now<<1,l,mid),query(a,b,(now<<1)+1,mid,r));
}
set<mp> s;
mp sq[200000+2];
bool cmp(mp A,mp B){
	return A.SEC<B.SEC;
}
int main(){
	fastio;
	cin>>n>>m;
	memset(val,-63,sizeof(val));
	rb(i,1,n)
		cin>>sq[i].FIR>>sq[i].SEC,sq[i].FIR++,sq[i].SEC--;
	sort(sq+1,sq+1+n,cmp);
	int it=n;
	int res=n;
	rl(i,m,1){
		while(it&&sq[it].SEC>=i){
			mp now=sq[it--];
			increase(now.FIR);
		}
		res=max(res,query(1,m+1)+i+1);
	}
	res=n+m-res;
	res=min(res,n);
	assert(res>=0);
	cout<<n-res<<endl;
	return 0;
}

启示：对于这类问题（比如$N_G$比较特殊）不需要借助网络流来解决二分图匹配。