素数专题

最新推荐文章于 2024-09-15 16:52:42 发布

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本文深入探讨素数的相关知识，包括埃氏筛法、威尔逊定理、费马小定理、Miller-Rabin素数测试和欧拉定理。通过这些理论与算法，能够有效地判断和理解质数特性。

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1.埃氏筛法

for(int i=2;i<=n;i++)
   {
   	  if(fl[i]==0) prime[++tot]=i;
   	  for(int j=1;j<=tot&&i*prime[j];j++)
      {
      	 fl[i*prime[j]]=1;
      	 if(i%prime[j]==0) break;
	  }	    
   }

prime数组存的就是所求的质数

2.威尔逊定理

p是质数 (p-1)!≡-1(mod p) 这两个条件可以互推

3.费马小定理

若p是质数，a为正整数，且a与p互质，则
在这里插入图片描述
证明过程用到了威尔逊定理

4.Miller-Rabim 素数测试

输入n，判断n是否为质数，如果n为质数，那一定满足费马小定理，所以可以随机输出几个a，判断是否满足费马小定理，如果都满足，那基本上就是质数了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
using namespace std;
int n;
int ff(int a,int m,int p)
{
	int s=1; 
	while(m!=0)
	{
		if(m%2==1) s=s*a%p;
		a=a*a%p;
		m>>=1;
	}
	return s;
}
bool Miller_Rabin(int n)
{
	if(n==2) return true;
	for(int i=1;i<=10;i++)
	{
		int a=rand()%(n-2)+2;
		if(ff(a,n,n)!=a) return false;
        //if(ff(a,n-1,n)!=1) return false; 利用费马小定理 
	}
	return true;
}
int main()
{ 
   srand(time(NULL));
   cin>>n;
   if(Miller_Rabin(n)==true) cout<<"yes";
   else cout<<"no";
    
  return 0;	
}

5.欧拉定理

若n,a为正整数，且n,a互质，则:
在这里插入图片描述
求n以内的欧拉函数

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int n=1e6+5;
ll phi[n],p[n],sum[n],tot;
bool f[n];
void getphi()
{
	phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
	   if(f[i]==false)
	   {
	  	  p[++tot]=i;
	  	  phi[i]=i-1;
	   }
	   for(int j=1;j<=tot;j++)
	   {
	   	  if(i*p[j]>n) break;
	   	  f[i*p[j]]=true;
	   	  if(i%p[j]==0)
	   	  {
	   	     phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];	
		     break;
		  }
		  else phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1);//欧拉定理 φ(a*b)=φ(a)*φ(b)
	   }
	}  
}
int main()
{ int a; 

   getphi(); 
   for(int i=2;i<=n;i++) sum[i]=sum[i-1]+phi[i];
   for(int i=1;;i++)
   {
   	  cin>>a;
   	  if(a==0) return 0;
   	  else cout<<sum[a]<<endl;
   }
   
  return 0;	
}