gcd的区间性质

gcd具有区间单调性：

对于gcd（l，r），l1<=l<=l2<=r2<=r<=r1,gcd(l2,r2)<=gcd(l,r)<=gcd(l1,r1)

gcd具有区间反向包含性质：

对于gcd（l，r），gcd(l1,r1),l<=l1<=r1<=r2,gcd(l,r）一定是gcd（l1,r1）的因子

区间内不同的gcd是有限的：

对于a【1】到 a【n】，设gcd【1，i】为a【1】到a【i】的gcd，则gcd【1,1】到gcd【1，n】中，至多存在log₂n个不同的gcd值，这一点可以从gcd的反向包含性质中得出。
更进一步可以得出，gcd的变化是线性的。
也就是说，gcd【1,1】到gcd【1，k1】，gcd【k1+1，k2】…gcd【k_i ，n】，每一段的gcd值是相等的
所以${\sum }_{i=1}^n$gcd【1,i】=gcd1 * len1 + gcd2 * len2 + gcd3 * len3 + … + gcdk*lenk
记为${\sum }_{i=1}^n$gcd【1,i】=${\sum }_{i=1}^k$gcd【k】*len【k】
因为至多有log₂ n个不同gcd值，所以上面计算的复杂度便从o（n）降低到了o（log₂ n）

来看一道例题

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/625/H
题目大意：求一段区间中所有连续子序列的gcd之和；
我们可以这样子变形：${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=i}^n$gcd【i，j】=${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{i=1}^k$gcd【k】*len【k】
原来是对O(n^2)个gcd求和，现在转化为O(nlogn)个数求和
然而对于${\sum }_{j=i}^n$gcd【k】*len【k】，我们并不知道分界点在哪，所以我们可以二分查找一段区间，对于gcd【c，l】，和gcd【c，r】我们查询gcd【c，m】，如果gcd【c，m】和某端点值相等的话，那么这一整段区间的值都是相同的，这里不加证明的给出这种计算的复杂度log(1e9)logn，然后我们查询可以用线段树维护，查询提供一个logn，加上n次计算${\sum }_{j=i}^n$gcd【k】*len【k】，一共是n(log^3)的算法复杂度，但这不是严格边界。
其中的log(1e9)logn很容易退化，这里数据不强应该能过

还没试过，有空试试看哈哈，只是自己想的一种办法