考研高等数学公式总结(四)

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多元函数积分学基础知识

向量代数

概念	向量描述
内积坐标定义	$a\text{a}a\cdot b\text{b}b=(a_x,a_y,a_z)\cdot (b_x,b_y,b_z)=a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z$
内积几何定义	$a\text{a}a\cdot b\text{b}b=\mid a\text{a}a\mid \cdot \mid b\text{b}b\mid \cos \theta$
垂直	$a\text{a}a\perp b\text{b}b⟺\theta =\frac{\pi }{2}⟺a\text{a}a\cdot b\text{b}b=0$
平行	$a\text{a}a//b\text{b}b⟺\theta =0or\pi ⟺\frac{a_x}{b_x}=\frac{a_y}{b_y}=\frac{a_z}{b_z}$
a在b上的投影	$Pr{j}_{b}a=\frac{a\text{a}a\cdot b\text{b}b}{\mid b\text{b}b\mid }=\mid a\text{a}a\mid \cos \theta$
外积	$a\text{a}a\times b\text{b}b=\left|\begin{array}{cccc}& i\text{i}i& j\text{j}j& k\text{k}k\\ & a_x& a_y& a_z\\ & b_x& b_y& b_z\end{array}\right|$
外积模	$\mid a\text{a}a\times b\text{b}b\mid =\mid a\text{a}a\mid \mid b\text{b}b\mid \sin \theta$
混合积	$[a\text{a}ab\text{b}bc\text{c}c]=(a\text{a}a\times b\text{b}b)\cdot c\text{c}c=\left|\begin{array}{cccc}& a_x& a_y& a_z\\ & b_x& b_y& b_z\\ & c_x& c_y& c_z\end{array}\right|$
三向量共面	$[a\text{a}ab\text{b}bc\text{c}c]=(a\text{a}a\times b\text{b}b)\cdot c\text{c}c=0,三向量共面$
向量的方向角(余弦)	$\cos \alpha =\frac{a_x}{\mid a\text{a}a\mid },\cos \beta =\frac{a_y}{\mid a\text{a}a\mid },\cos \gamma =\frac{a_z}{\mid a\text{a}a\mid }$
向量的单位向量	${a\text{a}a}^o=\frac{a\text{a}a}{\mid a\text{a}a\mid }=(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$

空间线面

几何对象	方程名称	方程
空间平面	一般式	$Ax+By+Cz+D=0$
	点法式	$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$
	三点式	$\left|\begin{array}{cccc}& x-x_1& y-y_1& z-z_1\\ & x-x_2& y-y_2& z-z_2\\ & x-x_3& y-y_3& z-z_3\end{array}\right|=0$
	截距式	$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=0$
空间直线	一般式	$$\begin{gathered} {n\text{n}n}_1不平行于{n\text{n}n}_2,可由点向式转换，在此基础上有平面族 \\ \{\begin{array}{l}{A}_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0,{n\text{n}n}_1=(A_1,B_1,C_1)\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0,{n\text{n}n}_2=(A_2,B_2,C_2)\end{array} \end{gathered}$$
直线的方向向量为$\tau \text{τ}\tau =(l,m,n)$	点向式	$\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$
	参数式	$$\begin{gathered} M(x_0,y_0,z_0)为直线上的已知点 \\ \{\begin{array}{l}x=x_0+lt\\ y=y_0+mt\\ z=z_0+nt\end{array} \end{gathered}$$
	两点式	$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}$
空间曲线	一般式	$$\begin{gathered} 两个曲面的交线 \\ \{\begin{array}{l}F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0\end{array} \end{gathered}$$
	参数方程	$\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\\ z=\omega (t)\end{array}$
	空间曲线在坐标面上的投影	将某一维消去
空间曲面		$F(x,y,z)=0$
	曲线绕轴旋转形成曲面	$$\begin{gathered} 1.M_1在曲线上 \\ 2.M_0是轴上一点,P为曲面上点，也为M_1所在纬圆上 \\ 3.M_{1}P\perp s\text{s}s,\mid M_{0}P\mid =\mid M_0{M}_1\mid \\ 4.绕坐标轴转，轴字母不变，另一个字母变成它和另一个字母平方和开根号 \end{gathered}$$

常见空间曲面

$$\begin{array}{rlr}& \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1(椭球面)& \\ & \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1(单叶双曲面)& \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1(双叶双曲面)\\ & \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1(椭圆抛物面)& \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}(椭圆锥面)\\ & -\frac{x^2}{2p}+\frac{y^2}{2q}=z(双叶抛物面1)& z=xy(双叶抛物面2)\end{array}$$

多元函数微分学的几何应用

空间曲线$\Gamma$由参数方程 $\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\\ z=\omega (t)\end{array}【1】$或交面式方程给出$\{\begin{array}{l}F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0\end{array}【2】$，$P(x_0,y_0,z_0)$是$\Gamma$上的点

空间曲面$\Sigma$由方程$F(x,y,z)=0$给出，$P(x_0,y_0,z_0)$是$\Sigma$上的点

描述	方程
空间曲线$\Gamma$在点P处的切向量【1】	$\tau \text{τ}\tau =({\phi }^{\prime }(t),{\psi }^{\prime }(t),{\omega }^{\prime }(t))$
空间曲线$\Gamma$在点P处的切向量【2】	$\left|\begin{array}{ccc}i\text{i}i& j\text{j}j& k\text{k}k\\ F_x^{\prime }& F_y^{\prime }& F_z^{\prime }\\ G_x^{\prime }& G_y^{\prime }& G_z^{\prime }\end{array}\right|$
空间曲面隐式方程$\Sigma$在$P_0$处的法向量	$n\text{n}n=(F_x^{\prime }{\mid }_{P_0},F_y^{\prime }{\mid }_{P_0},F_z^{\prime }{\mid }_{P_0})$
空间曲面参数方程$\Sigma$在$P_0$处的法向量	$n\text{n}n={\left|\begin{array}{ccc}i\text{i}i& j\text{j}j& k\text{k}k\\ x_u^{\prime }& y_u^{\prime }& z_u^{\prime }\\ x_v^{\prime }& y_v^{\prime }& z_v^{\prime }\end{array}\right|}_{P_0}$
点到平面的距离	$d=\frac{\mid A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D\mid }{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$
点到直线的距离	$d=\frac{\mid \overrightarrow{PQ}\times \tau \text{τ}\tau \mid }{\tau \text{τ}\tau }$
直线与直线的夹角	θ = arccos ⁡ ∣ τ 1 ⋅ τ 2 ∣ ∣ τ 1 ∣ ⋅ ∣ τ 2 ∣ , θ = m i n { ( τ 1 , τ 2 ) ^ , π − ( τ 1 , τ 2 ) ^ } ∈ [ 0 , 2 π ] \theta=\arccos \cfrac{\mid \pmb \tau_1 \cdot \pmb \tau_2\mid }{\mid \pmb \tau_1\mid \cdot\mid \pmb\tau_2\mid },\theta=min\{\hat{(\pmb \tau_1,\pmb \tau_2)},\pi-\hat{(\pmb \tau_1,\pmb \tau_2)}\}\in[0,\cfrac{2}{\pi}] θ=arccos∣τττ1​∣⋅∣τττ2​∣∣τττ1​⋅τττ2​∣​,θ=min{(τττ1​,τττ2​)^​,π−(τττ1​,τττ2​)^​}∈[0,π2​]
平面与平面的夹角	θ = arccos ⁡ ∣ n 1 ⋅ n 2 ∣ ∣ n 1 ∣ ⋅ ∣ n 2 ∣ , θ = m i n { ( n 1 , n 2 ) ^ , π − ( n 1 , n 2 ) ^ } ∈ [ 0 , 2 π ] \theta=\arccos \cfrac{\mid \pmb n_1 \cdot \pmb n_2\mid }{\mid \pmb n_1\mid \cdot\mid \pmb n_2\mid },\theta=min\{\hat{(\pmb n_1,\pmb n_2)},\pi-\hat{(\pmb n_1,\pmb n_2)}\}\in[0,\cfrac{2}{\pi}] θ=arccos∣nnn1​∣⋅∣nnn2​∣∣nnn1​⋅nnn2​∣​,θ=min{(nnn1​,nnn2​)^​,π−(nnn1​,nnn2​)^​}∈[0,π2​]
直线与平面的夹角	$\theta =\arcsin \frac{\mid \tau \text{τ}\tau \cdot n\text{n}n\mid }{\mid \tau \text{τ}\tau \mid \cdot \mid n\text{n}n\mid },\theta =\mid \frac{\pi }{2}-\widehat{(\tau \text{τ}\tau ,n\text{n}n)}\mid \in [0,\frac{2}{\pi }]$
三元函数$u(x,y,z)$在点$P_0$处的方向导数	$$\begin{gathered} \frac{\partial u}{\partial l\text{l}l}{\mid }_{P_0}={\lim }_{(x,y,z)\to P_0}=\frac{f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y,z_0+\Delta z)-f(x_0,y_0,z_0)}{\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2+(\Delta z{)}^2}}(定义) \\ =u_x^{\prime }(P_0)\cos \alpha +u_y^{\prime }(P_0)\cos \beta +u_z^{\prime }(P_0)\cos \gamma (如果偏导存在可用此式) \end{gathered}$$
三元函数$u(x,y,z)$在点$P_0$处的梯度	$grad\text{grad}gradu{\mid }_{P_0}=(u_x^{\prime }(P_0),u_y^{\prime }(P_0),u_z^{\prime }(P_0))$
方向导数与梯度的关系	$\frac{\partial u}{\partial l\text{l}l}{\mid }_{P_0}=grad\text{grad}gradu{\mid }_{P_0}\mid \cos \theta \mid$
向量场A的散度	$divA\text{A}A=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$
向量场A的旋度	$rot\text{rot}rotA\text{A}A=\left|\begin{array}{ccc}i\text{i}i& j\text{j}j& k\text{k}k\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|$

三重积分

三重积分的计算

直角坐标系

• 先一后二法（投影穿线法）：适用于有下曲面和上曲面，无侧面或侧面为柱面

$$\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)dv=\underset{D_{xy}}{\iint }d\sigma {\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz$$

• 先二后一法（定限截面法）：适用于$\Omega$是旋转体，旋转曲面方程为$\Sigma :z=z(x,y)$

$$\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)dv={\int }_a^{b}dz\underset{D_z}{\iint }f(x,y,z)d\sigma$$

柱面坐标系

• 在直角坐标系的先一后二方法中，若$\underset{D_{xy}}{\iint }d\sigma$适用于极坐标系

$$\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)dv=\underset{\Omega }{\iiint }f(r\cos \theta ,r\sin \theta ,z)rdrd\theta dz$$

球面坐标系

• 适用于积分区域为球或球的部分，锥或锥的部分，被积函数中含有$f(x^2+y^2+z^2)/f(x^2+y^2)$

$$\begin{array}{rl}\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)dv& =\underset{\Omega }{\iiint }f(r\sin \phi \cos \theta ,r\sin \phi \sin \theta ,r\cos \phi )r^2\sin \phi d\theta d\phi dr\\ & ={\int }_{{\theta }_1}^{{\theta }_2}d\theta {\int }_{{\phi }_1(\theta )}^{{\phi }_2(\theta )}d\phi {\int }_{r_1(\phi ,\theta )}^{r_2(\phi ,\theta )}f(r\sin \phi \cos \theta ,r\sin \phi \sin \theta ,r\cos \phi )r^2\sin \phi dr\end{array}$$

换元

$$\begin{array}{rl}\underset{{\Omega }_{xyz}}{\iiint }f(x,y,z)dv& =\underset{\Omega }{\iiint }f(x(u,v,w),y(u,v,w)),z(u,v,w))|\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}|dudvdw\end{array}$$

第一类曲线积分

$$\begin{array}{rl}{\int }_{\Gamma }f(x,y,z)ds& ={\int }_{\alpha }^{\beta }f[x(t),y(t),z(t)]\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2+[z^{\prime }(t){]}^2}dt\\ & ={\int }_a^{b}f[x,y(x)]\sqrt{1+[y^{\prime }(x){]}^2}dx\\ & ={\int }_{\alpha }^{\beta }f[x(t),y(t)]\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2}dt\\ & ={\int }_{\alpha }^{\beta }f[r(\theta )\cos \theta ,r(\theta )\sin \theta ]\sqrt{[r(\theta ){]}^2+[r^{\prime }(\theta ){]}^2}d\theta \end{array}$$

第一类曲面积分

1. 将$\Sigma$投影到某一平面(如$xoy$平面) $\Rightarrow$投影区域为$D$(比如$D_{xy}$)
2. 将$z=z(x,y)$或者$F(x,y,z)=0$带入$f(x,y,z)$
3. 计算$z_x^{\prime },z_y^{\prime }\Rightarrow dS=\sqrt{1+(z_x^{\prime }{)}^2+(z_y^{\prime }{)}^2}dxdy$

$$\underset{\Sigma }{\iint }f(x,y,z)dS=\underset{D_{xy}}{\iint }f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+(z_x^{\prime }{)}^2+(z_y^{\prime }{)}^2}dxdy$$

第二类曲线积分

定义
$$\begin{array}{rl}W=& {\int }_{\Gamma }dW\\ & ={\int }_{\Gamma }F\text{F}F(x,y,z)\ast dr\text{r}r\\ & ={\int }_{\Gamma }(P,Q,R)\ast (dx,dy,dz)\\ & ={\int }_{\Gamma }Pdx+Qdy+Rdz\end{array}$$
计算

• 一投二代三计算

∫ Γ P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = ∫ α β { P [ x ( t ) , y ( t ) ] x ′ ( t ) + Q [ x ( t ) , y ( t ) ] y ′ ( t ) } d t (直接法，三维同理) \int_{\Gamma}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int_{\alpha}^{\beta}\{P[x(t),y(t)]x'(t)+Q[x(t),y(t)]y'(t)\}dt \tag{直接法，三维同理} ∫Γ​P(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫αβ​{P[x(t),y(t)]x′(t)+Q[x(t),y(t)]y′(t)}dt(直接法，三维同理)

• 公式法

$${\oint }_{\Gamma }P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\underset{D}{\iint }(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})d\sigma \text{\hspace{1em}(格林公式)}$$

1. 曲线封闭且无奇点在其内部，直接用格林公式

2. 曲线封闭但有奇点在其内部，若除奇点外$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$，则换路径，新路径与原路径方向相同

3. 非封闭曲线若$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$，则换路径，新旧路径方向相同且之间无奇点

4. 非封闭曲线，可补线使其封闭

5. 积分与路径无关问题

   设在单连通区域$D$内$P,Q$具有一阶连续偏导数，则下述描述等价

   • ${\int }_{\Gamma AB}Pdx+Qdy$与路径无关
   • $Pdx+Qdy$为某二元函数$u(x,y)$的全微分
   • $Pdx+Qdy=0$为全微分方程
   • $Pi\text{i}i+Qj\text{j}j$为某二元函数$u(x,y)$的梯度
   • 沿$D$内任意分段光滑闭曲线$L$都有${\oint }_{\Gamma }Pdx+Qdy=0$
   • $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$在$D$内处处成立

   此外，求$u(x,y)$的方法：

   • $u(x,y)={\int }_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}Pdx+Qdy+u(x_0,y_0)={\int }_{x_0}^{x}Pdx+{\int }_{y_0}^{y}Rdy+u(x_0,y_0)$,路径使用折线法
   • 凑微分观察法

• 两类曲线积分的关系

$${\int }_{L}Pdx+Qdy={\int }_L(P\cos \alpha +Q\sin \alpha )ds$$

• 空间问题-公式法

$$\begin{array}{rl}{\oint }_{\Gamma }Pdx+Qdy+Rdz& =\underset{\Sigma }{\iint }\left[\begin{array}{ccc}\cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right]dS\\ & =\underset{\Sigma }{\iint }\left[\begin{array}{ccc}dydz& dzdx& dxdy\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right]\end{array}\text{\hspace{1em}(斯托克斯公式)}$$

1. 曲线封闭且在同一平面上或投影简单，可用斯托克斯公式
2. 参数方程简单或曲线不在同一平面上，用直接计算法
3. $rotF\text{F}F=0$,无旋场，可换路径

第二类曲面积分

定义
$$\underset{\Sigma }{\iint }F\text{F}F\ast dS\text{S}S=\underset{\Sigma }{\iint }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy$$
计算

• 拆分直接计算

1. 将$\Sigma$投影到某一平面(如$xoy$平面) $\Rightarrow $投影区域为$D$(比如$D_{xy}$)

2. 将$z=z(x,y)$或者$F(x,y,z)=0$带入$f(x,y,z)$

3. 将$dxdy$写成$\pm dxdy$,其中$\Sigma$法向量与$z$轴夹角为锐角时取"+",否则取“-”,得到
   $$\underset{\Sigma }{\iint }R(x,y,z)dxdy=\pm \underset{D_{xy}}{\iint }R(x,y,z(x,y))dxdy\text{\hspace{1em}(PQ同理)}$$

• 转换投影法

∬ Σ R ( x , y , z ) d x d y = ± ∬ D x y { P ⋅ ( − ∂ z ∂ x ) + Q ⋅ ( − ∂ z ∂ y ) + R } d x d y \underset{\Sigma}{\iint}R(x,y,z)dxdy=\pm\underset{D_{xy}}{\iint}\{P\cdot(-\cfrac{\partial z}{\partial x})+Q\cdot(-\cfrac{\partial z}{\partial y})+R\}dxdy Σ∬​R(x,y,z)dxdy=±Dxy​∬​{P⋅(−∂x∂z​)+Q⋅(−∂y∂z​)+R}dxdy

• 公式法

$$\underset{\Sigma }{\iint }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\underset{\Omega }{\iiint }(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dv\text{\hspace{1em}(高斯公式)}$$

1. 封闭曲面且内部无奇点，直接用
2. 封闭曲面有奇点，若除奇点外$divF\text{F}F=0$，则换个包含奇点的面积分，方向与原曲面方向相同
3. 非封闭曲面，若$divF\text{F}F=0$，可换个面，方向与原曲面方向相同
4. 非封闭曲面，补面使其封闭
5. 由$divF\text{F}F=0$，建立方程求$f(x)$，建立微分方程

• 两类曲面积分关系

$$\begin{gathered} \underset{\Sigma }{\iint }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\underset{\Sigma }{\iint }(P \\ cos\alpha +Q \\ cos\beta +R \\ cos\gamma )dS \end{gathered}$$

重积分和第一类线面积分的应用

对象(以$x$为例)	重心与形心	转动惯量	引力
平面薄片$D$	$\overline{x}=\frac{\underset{D}{\iint }x\rho (x,y)d\sigma }{\underset{D}{\iint }\rho (x,y)d\sigma }$	$I_x=\underset{D}{\iint }{y}^2\rho (x,y)d\sigma$	$F_x=Gm\underset{D}{\iint }\frac{\rho (x,y)(x-x_0)}{[(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+z^2{]}^{\frac{3}{2}}}d\sigma$
空间物体$\Omega$	$\overline{x}=\frac{\underset{\Omega }{\iiint }x\rho (x,y,z)dv}{\underset{\Omega }{\iiint }\rho (x,y,z)dv}$	$I_x=\underset{\Omega }{\iiint }(y^2+z^2)\rho (x,y,z)dv$	$F_x=Gm\underset{\Omega }{\iiint }\frac{\rho (x,y,z)(x-x_0)}{[(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2{]}^{\frac{3}{2}}}dv$
光滑曲线$\Gamma$	$\overline{x}=\frac{{\int }_{\Gamma }x\rho (x,y,z)ds}{{\int }_{\Gamma }\rho (x,y,z)ds}$	$I_x={\int }_{\Gamma }(y^2+z^2)\rho (x,y,z)ds$	$F_x=Gm{\int }_{\Gamma }\frac{\rho (x,y,z)(x-x_0)}{[(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2{]}^{\frac{3}{2}}}ds$
光滑曲面薄片$\Sigma$	$\overline{x}=\frac{\underset{\Sigma }{\iint }x\rho (x,y,lz)dS}{\underset{\Sigma }{\iint }\rho (x,y,lz)dS}$	$I_x=\underset{\Sigma }{\iint }(y^2+z^2)\rho (x,y,lz)dS$	$F_x=Gm\underset{\Sigma }{\iint }\frac{\rho (x,y,z)(x-x_0)}{[(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2{]}^{\frac{3}{2}}}dS$