贪心算法

贪心算法

基本思想

贪心算法总是作出在当前看来最好的选择。也就是说贪心算法并不从整体最优考虑，它所做出的选择只是在某种意义上的局部最优选择。

适用特征

• 最优子结构性质
• 贪心选择性质：所求问题的整体最优解可以通过一系列局部最优的选择，即贪心选择来达到。对于一个具体问题，要确定它是否具有贪心选择性质，必须证明每一步所做的贪心选择最终导致问题的整体最优解。

证明方法

• 对算法步数的归纳
• 对问题规模的归纳

总结

• 贪心法需要正确性证明
• 贪心法一般需要对原始数据预处理（排序）
• 程序结构一般自顶向下，一次扫描

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例题

1.活动安排

问题

有n个活动申请使用同一个礼堂，每项活动有一个开始时间和一个截止时间，如果任何两个活动不能同时进行，问如何选择这些活动，从而使得被安排的活动数量达到最多。

设 S={1,2,...,n}S=\{1,2,...,n\}S={1,2,...,n}为活动的集合，$s_i$和$f_i$分别为活动i的开始和截止时间，$i=1,2,...,n$。定义

活动i与j相容：$s_i\ge f_j$或$s_j\ge f_i,i\ne j$

求S最大的两两相容的活动子集

思想

贪心策略：早完成的活动先安排

把活动按照截止时间从小到大安排，使得$f_1\le f_2\le ...\le f_n$,然后从前向后挑选，只要与前面选择的活动相容，便将这项活动选入最大相容集合$A$

代码

template<class Type>
void GreedSelector(int n,Type s[],Type f[],bool A[]){//已排好序
    A[1] = true;
    int j= 1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(s[i]>=f[i]){
            A[i] = true;
            j = i;
        }
        else{
            A[i] = false;
        }
    }
}

2.最优装载

问题

有一批集装箱要装上一艘载重量为c的轮船。其中集装箱i的重量为$w_i$。最优转载问题要求确定在装载体积不受限制的情况下，将尽可能多的集装箱装上轮船。

思路

贪心策略：轻者先装

正确性证明

对问题规模进行归纳

• 设集装箱已按重量从小到大排序，标号为$1,2,...,n$
• k=1,只有一个集装箱，装$(w_1\le c)$或不装$(w_1\ge c)$，算法得到最优解$I_1$
• 假设算法对于规模为n-1的输入算法得到最优解，则对于N′={2,3,...,n},c′=c−wiN^{'}=\{2,3,...,n\},c^{'}=c-w_iN′={2,3,...,n},c′=c−wi​,算法得到最优解$I^{{}^{\prime }}$
• 对于规模n的输入N={1,2,...,n}N=\{1,2,...,n\}N={1,2,...,n},其中$w_1\le w_2\le ...\le w_n$。则$I=I^{{}^{\prime }}\bigcup I_1$为N的最优解。若最优解为$I^{\ast }$,且$I^{\ast }$中不包含$I_1$,则用$I_1$替换$I^{\ast }$中标号最小的集装箱得到的解也为最优解

3.最优前缀码[哈夫曼编码]

问题

给出现频率高的字符较短的编码，出现频率较低的字符以较长的编码，可以大大缩短总码长

对每一个字符规定一个$0,1$串作为其代码，并要求任一字符的代码都不是其他字符代码的前缀。这种编码称为前缀码。

给定编码字符集$C$及其频率分布$f$,即$C$中任一字符c以频率$f(c)$在文件中出现。$C$中一个前缀编码方案对应一个二叉树T，字符c在T中的深度记为$d_T(c)$,$d_T(c)$也是字符c的前缀码长。

给定字符集C={c1,c2,...,cn}C=\{c_1,c_2,...,c_n\}C={c1​,c2​,...,cn​}以及每个字符频率$f(c_i)$,求关于C的一个最优前缀编码

思路

将$f(c_i)$按照概率大从小到大排序 ，按顺序两两合并运算后继续合并

4.最小生成树

问题

设$G=(V,E)$是无向连通带权图，即一个网络。E中每条边$(u,v)$的权为$w[u][v]$。如果G的子图$G^{{}^{\prime }}$是一颗包含G的所有顶点的树，则称$G^{{}^{\prime }}$为$G$的生成树。生成树上各边权的总和称为该生成树的耗费。在G的所有生成树中，耗费最小的生成树称为G的最小生成树

给定无向连通带权图$G(V,E,W)$,求$W(T)$最小的生成树

思路

• $Prim$算法

  首先置S={1}S=\{1\}S={1},然后只要S是V的真子集，就做如下的贪心选择：选取满足条件$i\in S,j\in V-S$,且$w[i][j]$最小的边，将定点j添加到S中。这个过程一直进行到S=V

• $Kruskal$算法

  首先将G的n个顶点看成n个孤立的连通分支。将所有的边按权从小到大排序

  然后按照权值从小到大添加，但是不能形成圈

5.单源最短路径

问题

给定带权有向图$G=(V,E),$其中每条边的权是非负数。另外，还给定V中的一个顶点，称为源。现在要计算从源到所有其他各顶点的最短路径长度。这里路的长度是值路上各边权之和。

思路

$Dijkstra$算法

设置顶点集合S并不断做贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。

初始时，S中仅含有源。设u是G的某一个顶点，把从源到u且中间只经过S中顶点的路称为从源到u的特殊路径，并用数组$dist$记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。$Dijkstra$算法每次从V-S中取出具有最短特殊路径长度的顶点u，将u添加到S中，同时对数组$dist$做必要的修改。一旦S包含了所有V中顶点，$dist$就记录了从源到所有其他顶点之间的最短路径长度。

6.多级调度问题

问题

设有n个独立的作业{1,2,...,n}\{1,2,...,n\}{1,2,...,n},由m台相同的机器进行加工处理，作业i的处理时间为$t_i$,任何作业不可以拆分为更小作业，且作业未完工前不允许中断处理。

多级调度问题要求给出一种作业调度方案，使所给的n个作业在尽可能短的时间内由m台机器加工处理完成。

思路

NP完全问题，到目前为止没有有效解法。这里用贪心选择策略设计出较好的近似算法。

采用最长处理时间作业优先的贪心选择策略