【NOIP训练】塔防游戏序列DP / 数据结构

最新推荐文章于 2024-07-29 01:31:58 发布

原创最新推荐文章于 2024-07-29 01:31:58 发布 · 302 阅读

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本文介绍了一道关于塔的序列动态规划问题及其解决方案。问题要求在满足特定约束条件下选择塔集合以最大化目标函数。文章详细阐述了解题思路，利用数据结构进行优化，并给出具体实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题

有 $n$ 座塔标号为 $1-n$ ，每个塔有两种属性 $r，a$ ，现在你要从这些塔中选取若干个塔，使得：对于任意两座塔 $i,j\ (i < j)$ ，需满足 $i+r_i \le j$ 。
求在所有满足上述条件的塔的选择集合 $S$ 中，求 $max\{\sum_{i \in S}a_ir_i\}$ 。
数据范围： $1 \le r_i \le n \le 10^6，a_i \le 10^9$ 。

解

考场上打挂了炸成10分。。
这题一看就是序列dp，不过要用数据结构优化。
题目给定的塔是按顺序的，所以对于一个塔是否能选，
我们只要考虑前面的塔攻击不到这个塔，以及这个塔攻击不到前面的塔就ok。
记 $f_i$ 为只考虑前 $i$ 座塔，选入 $i$ 这座塔的最优答案。
那么 $f_i$ 就等于 $[1，i-r_i]$ 范围内无法攻击到 $i$ 塔中所有塔 $f$ 的最大值，再加 $a_ir_i$ 。
然后我们用数据结构维护个前缀最大值，为了保证前面的塔打不到当前的塔，
只插入打不到它的。由于已经按位置排了序，所以前面打不到它的肯定打不到它后面的塔。所以插入后就可以一直放在那里了。复杂度 $O(n\ log\ n)$ 。
代码：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

#define R register
#define Maxn 2000005
#define LL long long

struct tower
{
    LL atk,r;
}t[Maxn];
int n;
LL f[Maxn],ans;

inline int lowbit(R int x){return x&-x;}
struct BIT
{
    LL tree[Maxn];
    LL query(R int pos1)
    {
        R LL ret=0ll;
        for (;pos1;pos1-=lowbit(pos1)) ret=max(ret,tree[pos1]);
        return ret; 
    }
    void insert(R int pos1,R LL val)
    {
        for (;pos1<=n;pos1+=lowbit(pos1)) tree[pos1]=max(tree[pos1],val);
    }
}A;

int first[Maxn],next[Maxn],to[Maxn],cnt;
void link(R int x,R int y)
{
    next[++cnt] = first[x]; first[x] = cnt; to[cnt] = y;
}

int main()
{
//  freopen("td5.in","r",stdin);

    scanf("%d",&n);
    for (R int i=1;i<=n;++i) scanf("%lld",&t[i].r);
    for (R int i=1;i<=n;++i) scanf("%lld",&t[i].atk);
    for (R int i=1;i<=n;++i)
    {
        for (R int j=first[i];j;j=next[j]) A.insert(to[j],f[to[j]]);
        f[i]=max(f[i],A.query(max(i-t[i].r,0ll)))+t[i].atk*t[i].r;
        link(i+t[i].r,i);
        ans=max(ans,f[i]);
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}