【BZOJ 1047】【HAOI 2007】理想的正方形 / 单调队列

最新推荐文章于 2020-03-20 23:58:57 发布

SiriusNEO

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分类专栏：数据结构文章标签： OI

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本文介绍一种高效算法，用于解决给定n×m矩阵中寻找极差最小的k×k子矩阵问题。通过使用单调队列进行降维处理，实现对静态二维区间极值的有效计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题

简述：给定 $n\times m$ 的矩阵，求其所有 $k \times k$ 的子矩阵中，极差最小的一个。（PS：极差=最大值-最小值）
其中 $n,m \le 1000$ ， $k\le100$ 。

解

一个静态二维区间极值问题。可以选择带 $log$ 的数据结构维护，不过由于是静态，杀鸡就不用牛刀了，上单调队列要更快。（有点二维滑动窗口的感觉）
核心思路就是降维，我们不妨把一维压掉，只保留有用信息，比如我们将每一列（纵的叫列）存成一个数，表示该列的最大/小值（因为只有这俩有用啊）
我们先枚举行，从 $1$ 到 $n+k-1$ ，
然后考虑每次枚举时的状态，此时是一个 $k \times m$ 的矩阵，我们将每一列存下最大值和最小值，于是就得到两个数组 $Max_i,Min_i$ ，长度均为 $m$ ，接下来的问题就是对这两个一维的数组上求连续段极值，用单调队列维护。
时间复杂度 $O(n(m+k))$ ，代码见下：

#include<bits/stdc++.h> //万能头文件并不支持所有OJ
using namespace std;
#define maxa 1002
#define R register
#define INF 2147483000
int a,b,n,ans=INF,G[maxa][maxa],min1[maxa],max1[maxa];
struct fifo
{
    int l,r,q[maxa];
    fifo(){l=r=0;memset(q,0,sizeof q);}
    void cls() {l=r=0;}
    void max_insert(int pos) {while(!empty()&&max1[q[r-1]]<=max1[pos])--r;q[r++]=pos;}
    void min_insert(int pos) {while(!empty()&&min1[q[r-1]]>=min1[pos])--r;q[r++]=pos;}  
    void del(int pos) {while(!empty()&&front()<=pos)pop();}
    void pop() {++l;}
    int front() {return q[l];}
    bool empty() {return l>=r;}
}maxq,minq;
int main()
{
    scanf("%d %d %d",&a,&b,&n);
    for (R int i=1;i<=a;++i)for (R int j=1;j<=b;++j)scanf("%d",&G[i][j]);
    for (R int i=1;i+n-1<=a;++i)
    {
        maxq.cls();minq.cls();
        for (R int j=1;j<=b;++j)
        {
            min1[j]=INF;max1[j]=-INF;
            for (R int k=i;k<=i+n-1;++k) max1[j]=max(max1[j],G[k][j]),min1[j]=min(min1[j],G[k][j]);
            maxq.del(j-n);maxq.max_insert(j); 
            minq.del(j-n);minq.min_insert(j);
            (j >= n) ? ans=min(ans,max1[maxq.front()]-min1[minq.front()]) : 0;
        }
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}