BZOJ 1197 花仙子的魔法

Description

相传，在天地初成的远古时代，世界上只有一种叫做“元”的花。接下来，出 现了一位拥有魔法的花仙子，她能给花附加属性，从此，“元”便不断变异，产生了大千世界千奇百怪的各种各样的花。据说，花仙子既可存在于二维空间（平 面），又可存在于三维空间（立体），还可存在于n维空间（想象）。二维空间的点可用向量（x1,x2）表示，三维空间的点可用向量（x1,x2,x3）表 示，一般来说，n维空间的点可用向量（x1,x2,…,xn）表示。而n维空间中两点（x1,x2,…,xn）与（w1,w2,…,wn）之间的距离定义为

在n维空间中，花仙子每实施魔法就要选择一个参考点（w1,w2,…,wn）和一个作用半径r，并且参考点的位置和作用半径的大小可以任意选择。这时，n 维空间中所有与参考点（w1,w2,…,wn）之间的距离小于作用半径r的花都会受到这次魔法的影响。每次魔法都会给受到影响的花带来不同的属性，且的效 果可以叠加。一般来说，若花仙子总共实施了m次魔法，则n维空间中处于某点的花所具有的属性可用长度为m的二进制串a1a2…am来描述，其中对 1≤i≤m，若该花受到第i次魔法的影响，则ai的值为1,否则为0。显然，不同的属性对应不同的花。 现在的问题是：花仙子在n维空间中实施了m次魔法后，最多能得到多少种不同的花？

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Input

包含两个整数，并用一个空格隔开，
第一个整数表示实施魔法的次数m，第二个整数表示空间的维数n。
其中，1≤m≤100,1≤n≤15。

Output

仅包含一个整数，表示花仙子在n维空间中实施了m次魔法后，最多能得到多少种不同的花。

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Sample Input

3 1

Sample Output

6

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题解

(这真的是普及组难度么？我太菜了……)
顺便，请认真读到底，因为算法突破点是在2维部分的讲解！！！算法突破点是在2维部分的讲解！！！算法突破点是在2维部分的讲解！！！

这题代码很好写，但是想出来有难度，可能和空间思维有一定关系吧

对于1维，一个1维的圆其实就是一段线段(或一个区间，圆心的一个半径为r的邻域)

如图，可以想象为二维圆在一维的投影

现有以下结论：每往1维空间中加入一个一维圆……，最多能增加两种花

问题可以看成，往一维空间中添加线段，然后看线段可以把一维空间分成多少段，注意，一维空间中的两端都是“元”花，即都为同一种

证明：

假设图中的红色线段为新加入的圆，那么只有当左侧红线处于某个已经分隔出来的线段内（比如图中蓝黑线段中间），才能将这个空间分成两个子空间(即多分出来一个空间，如图中的C)，另一侧线段可以在除了之前已经被分隔的空间之外的任何空间，可以保证划分出一个新的空间

也就是新增两个子空间

原谅我的美术……
或者这样：

所以，一维的时候，我们每增加一个圆，则花的总是最多增加2
即f(1，m) = 2m( f(1，m) 为 1 维空间中添加m个圆最多能形成花的总数)

有了1维的基础，再看看2维会很简单！！

一开始没有任何圆加入，世界里就只有“元”，这里灰色表示

然后加入了一个圆，

现在有两种花了……

再加入一个：

现在有四种花了，不过为什么？
重点来了！

我们把加入的第二个圆，从某个点拆开，变成线段

再看看两个交点，我们彻底把线段铺平：

好像就变成了一维的情况，增加的区域数也正好等于在1为空间中加入一个圆后得到花的总数
我们再添加第三个球也是如此：

把第三个圆的线段拉平，又变成一维了
而且多划分出的区域为4 = 一维中加入两个圆后得到花的总数

3维，n维同理

那么应该可以得出了吧……
设$f[a][b]$表示a维空间中加入b个a维球体后花的总数(划分的空间数)
则$f[a][b]=f[a][b-1]+f[a-1][b-1]$
后面$+f[a-1][b-1]$的原因图中已经可以看到，n维球相交可以转换为n-1维球相交的问题
而再加一个$f[a][b-1]$，因为我们在加入b-1个球的基础上再加入第b个球，所以……

code

#include <cstdio>

long long f[20][110];
int m, n;
int main() {
	int i, j;
	scanf ("%d%d", &m, &n);
	f[0][0] = 1;
	for (j = 1; j <= m; ++ j) f[0][j] = 2;
	for (i = 1; i <= n; ++ i) {
		f[i][0] = 1;
		for(j = 1; j <= m; ++ j) f[i][j] = f[i][j - 1] + f[i - 1][j - 1];
	}
	printf ("%d\n", f[n][m]);
	return 0;
}