数论最大公约数最小公倍数

最新推荐文章于 2025-03-01 08:30:00 发布

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分类专栏：数论算法

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本文详细解析了最大公约数与最小公倍数的数学原理，介绍了如何使用辗转相除法求解最大公约数，并通过唯一分解定理证明了最大公约数与最小公倍数之间的关系。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

#最大公约数
之前，我们学过约数，这次，我们需要找到2个数 $a, b$ 的最大的公约数，我们设 $d = g c d (a, b)$ 为 $a, b$ 的最大公约数

所以有 $d ∣ a$ ， $d ∣ b$ ，设 $a = k b + r$ ，其中k为整数
所以 $r = a - k b$ ，根据整除的性质，可得 $d ∣ r$
故d也是r的公因数，若 $g c d (b, r) = c$ ，则 $d < = c$

又有 $c ∣ r$ ， $c ∣ b$ ， $a = k b + r$ ，所以 $c ∣ a$
所以c是a、b的公约数，即 $c < = d$ ，综上所以 $c = d$

所以 $\:mod \: b) ，同理也可证= gcd (b \: mod \: a, a)$

###code

#include <iostream>
using namespace std;
int gcd1 (int a, int b) {
    return b ? gcd1(b, a % b) : a;
}
int gcd2 (int a,int b) {
    return a ? gcd2(b % a, a) : b;
}
int main () {
    int m,n;
    cin >> m >> n;
    cout << gcd1 (m,n) << " " << gcd2 (m,n);
}

#最小公倍数
设 $a, b$ 的最小公倍数为 $L$ ，最大公因数为 $D$
所以有 $L ∣ a$ ， $L ∣ b$
且有 $a = D x$ ， $b = D y$ (显然有 $x, y$ 互质)
故满足 $L∣D, L∣x, L∣yL|D,\:L|x,\:L|y$ ，所以满足条件的最小的 $\times x \times y = a \div D \times b$