数论——最大公约数和最小公倍数

最大公约数：

使用辗转相除法求取最大公约数（Greatest Common Divisor，gcd），即欧几里得算法

原理：

性质1：如果a = kb,则gcd ( a , b ) = b。

性质2：a = kb + r 时，r = a mod b。如果最大公约数为G，即gcd ( a , b ) = G。则a % G == 0并且

b % G == 0，那么一定有r % G == 0。即a，b，r都是G的倍数。则gcd（a，b）=gcd（a，r）=

gcd（a，a mod b）= gcd（a，a % b）=G。

 代码实现：

int gcd(int a,int b) {
    while(b!=0) {
        int temp =b;
        b=a%b;
        a=temp;
    }
    return a;
}

 性质2不难体现，而对于性质1一次循环后b就为0了，对于b > a的情况a % b = a,b就赋值为了a，a=temp，实现了对a和b的交换。

最小公倍数：

最小公倍数（Least Common Multiple，lcm）可以依据最大公约数gcd求得，我们假设两个数a和b

。a =G * n，b = G * m。（对于任意两个数一定有公约数1存在）

那么最小公倍数lcm（a，b）=G * n *  m = 。

最大公约数和最小公倍数：

gcd（a，b）=G，lcm（a，b）=L。则L *  G=a * b。

已知最大公约数和最小公倍数怎么求a，b呢？

首先必须明确，两数的最小公倍数一定是最大公约数的倍数。L/G=K。

a =G * n，b = G * m，只需要求出所有的n和m对即可求出所有的a和b。

m * n =L / G = K，而且其中的G是最大公约数，所以m和n互质（如果m和n有公约数一定乘进了G中），即gcd（n，m）=1 &&m * n =K。

#include<iostream>
using namespace std;
int gcd(int a,int b) {
    while(b!=0) {
        int temp =b;
        b=a%b;
        a=temp;
    }
    return a;
}
int main() {
    int G,L,ans=0;
    cin>>G>>L;
    int K=L/G;
    if(L%G!=0) {cout<<"0"<<endl;return 0;}
    for(int i=1;i<=K;i++) {
        if(i*(K/i)==K&&gcd(i,(K/i))==1) {
            ans++;
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}