熵大概是统计学、信息学中最让人纠结的基本概念之一。很多的人对于熵是什么多多少少能说出一二，但是不能准确的表达出来。我们都知道熵可以用来描述含有的信息丰富程度的多少，但具体指什么呢？
在讲到熵之前，在这里我先讲一个“自信息”
目录
1）基本性质1： 若事件x的所有状态n发生概率都一致，即都为1/n，那么信息熵H(x)有极大值
2）基本性质2： 对于两个相互独立的事件，它们的信息熵是可加的
1.自信息（信息量）
事件A：巴西队进入了2018世界杯决赛圈。
事件B：中国队进入了2018世界杯决赛圈。
仅凭直觉来说，显而易见事件B的信息量比事件A的信息量要大。究其原因，是因为事件A发生的概率很大，事件B发生的概率很小。所以当越不可能的事件发生了，我们获取到的信息量就越大。越可能发生的事件发生了，我们获取到的信息量就越小。
在生活中，极少发生的事情最容易引起吃瓜群众的关注。而经常发生的事情则不会引起注意，比如吃瓜群众从来不会去关心明天太阳会不会东边升起。
也就是说，信息量的多少与事件发生概率的大小成反比。
对于已发生的事件i，其所提供的信息量为：
其中对数的底数通常为2，也可以为10或e （在这里多谈一句，关于对数的计算，物理上常用e，数学计算中常用10，计算机相关常用2 。对数底数为e、2或者10之间存在 常数倍 关系，所以底数为什么都不影响最终结果，详解看 对数底数为e、2、10之间的关系转化），负号的目的是保证信息量不为负值。单位为bit
事件发生的概率与其对应的信息量的关系如下图所示：
2.熵的引入
熵这个概念对物理学、化学都很重要，它表示一个系系统在不受外部干扰时，其内部最稳定的状态。
我们知道，任何粒子的常态都是随机运动，也就是"无序运动"，如果让粒子呈现"有序化"，必须耗费能量。所以，温度（热能）可以被看作"有序化"的一种度量，而"熵"可以看作是"无序化"的度量。
1948年，香农Claude E. Shannon引入信息（熵），将其定义为离散随机事件的出现概率。一个系统越是有序，信息熵就越低；反之，一个系统越是混乱，信息熵就越高。所以说，信息熵可以被认为是系统有序化程度的一个度量。
即 熵通常被描述为一种对混乱度的度量单位。
举个很简单栗子：
假设你在医生办公室中与三个等待的病人交流。三个病人都刚刚完成药物测试，他们面临着两种可能的结果：患病或者未患病。假设这三个病人都充满好奇心而且数学好。他们提前各自研究得到了自己患病的风险，并且想通过这些来确认自己的诊断结果。
病人 A 知道他自己有 95% 的可能会患病。对于病人 B，患病概率为 30%，病人 C 的患病未患病的概率都为 50%。
显而易见，病人C具有最大的不确定性，而病人A的不确定性最弱，而病人B的不确定性介于病人A与病人C之间。
而熵这个概念的引入，就是用来描述这种不确定性的强弱的。
3.信息熵（香农熵）
在机器学习领域中，我们提到的熵都是信息熵。 在下面如果没有特别的指出，那么熵就是指的信息熵
H(x)表示用以消除这个事件的不确定性所需要的统计信息量，即信息熵。
在没有特意说明的情况下，下面就是熵的公式。对于事件X，有n种可能结果，且概率分别为p_1, ... p_n，公式为：
接下来我们来看看熵的基本性质或特点有哪些。
3.1基本性质或特点
1）基本性质1： 若事件x的所有状态n发生概率都一致，即都为1/n，那么信息熵H(x)有极大值
简单回顾一下概率分布：概率分布是一个函数，对于每个可能的结果都有一个概率，且所有的概率相加等于 1。
熵满足一个条件，就是均匀分布具有最大的熵，比如：抛硬币的正反面两面概率都是1/2，摇色子的每个点出现的概率都是1/6，此时信息熵具有极大值。
对于伯努利试验中熵的图像如下（伯努利试验中，有两种可能的结果：p和1-p）：
所以在伯努利试验中，当p=0.5的时候，信息熵最大；当p=0或1的时候，信息熵最小。
2）基本性质2： 对于两个相互独立的事件，它们的信息熵是可加的
事件X=A,Y=B，如果同时发生，且相互独立,则可以得出：P（X=A,Y=B)=P(X=A)·P(Y=B)
那么信息熵为： H（X，Y）=H(X)+H(Y)
补充一下，对于两个不相互独立的事件，信息熵为： H（X，Y）=H(X)+H(Y)- I(X,Y)，其中I(X,Y) 为互信息
3）基本性质3： 加入发生概率为0的结果并不会有影响
例如抛硬币试验，正面朝上的概率是1/2，反面朝上的概率是1/2，竖着的概率为0 。
根据信息熵H(X)公式就可以得知，加入发生概率为0的结果，并不会影响对不确定性的度量
4）基本性质4： 不确定性的度量应该是连续的
连续性的最直观的解释就是没有断开或者空洞。更精确的解释是：输出（在我们的场景下是不确定性）中任意小的变化，都可以由输入（概率）中足够小的变化得到。
对数函数在定义域上每个点都是连续的。在子集上有限数量函数的和和乘积也是连续的。由此可能得出熵函数也是连续的。
5）唯一性定理
Khinchin（1957）证明，满足上述四种基本性质的唯一函数族具有如下形式：
其中λ是正常数。Khinchin称之为唯一性定理。将λ设为1，并使用以2为底的对数就得到了香农熵。
6）特点： 具有更多可能结果的均匀分布有更大的不确定性
比如你可以在抛硬币试验和抛骰子试验中做出一个选择，如果硬币正面朝上（概率为1/2）或者骰子1朝上（概率为1/6）就算赢。你会选择哪个试验？如果你想最大化收入，肯定会选择硬币。如果只是想体验下不确定性，那可能就会选骰子。
随着等概率结果的数量的增加，不确定性的度量也应该增加。
这正是熵所做的：H（1/6， 1/6， 1/6， 1/6， 1/6， 1/6）> H（0.5， 0.5）
所以均匀分布具有最大的熵是相对于同一个事件的而言的，如果是不同的事件，结果的数量越多，它的信息熵也就越大。
这就意味着，在决策树算法的计算中，用熵来计算是有短板的。
举个栗子：
你要判断一个人是否能生孩子，给出了两个特征列：性别（男，女），政治面貌（群众，共青团员，预备党员，中共党员）。
很明显，我们要判断一个人是否能生孩子，只需要知道他是 男 还是 女 就可以了，不需要知道政治面貌。但是因为 政治面貌 有4个结果数，而 性别 只有2个结果数，则 政治面貌 的 熵 会更大，所以在决策树中他会选择 政治面貌 来判断一个人是否能生孩子，这显然是不合理的。
那么在这里就需要引入一个概念——信息增益比 （具体计算方式看下方 条件熵 内） 来解决这个问题
4.其他熵
4.1.联合熵(Joint Entropy)
我们上面考虑的主要是单个事件发生的情况，假如两个事件同时发生，那么应该怎么考虑呢？
例如我们同时 抛两枚硬币 那么会出现四种结果：正正，正反，反正，反反，要怎么去度量计算它的信息熵呢？
这个时候就需要使用联合熵。两个离散随机变量X和Y的联合概率分布函数为p(X,Y)，则联合熵公式如下：
其中p(x,y)代表事件x和事件y的联合概率。
举个小栗子：
这次以同时抛两枚硬币为例来说明联合熵如何对两个事件进行度量（对数的底数为2）：
| 事件 | 联合概率 | 自信息量 | 联合熵 |
| x正，y正 | 1/2 * 1/2 = 1/4 | -log(1/4) | -(1/4*log(1/4)-(1/4*log(1/4)-(1/4*log(1/4)-(1/4*log(1/4) |
| x正，y反 | 1/2 * 1/2 = 1/4 | -log(1/4) | -(1/4*log(1/4)-(1/4*log(1/4)-(1/4*log(1/4)-(1/4*log(1/4) |
| X反，y正 | 1/2 * 1/2 = 1/4 | -log(1/4) | -(1/4*log(1/4)-(1/4*log(1/4)-(1/4*log(1/4)-(1/4*log(1/4) |
| X反，y反 | 1/2 * 1/2 = 1/4 | -log(1/4) | -(1/4*log(1/4)-(1/4*log(1/4)-(1/4*log(1/4)-(1/4*log(1/4) |
H(X,Y)=-(1/4*log(1/4)-(1/4*log(1/4)-(1/4*log(1/4)-(1/4*log(1/4)=2 （四个事件，每个事件出现的联合概率代入进去计算）
4.2.条件熵(Conditional Entropy)
信息熵是代表随机变量的复杂度（不确定度），条件熵代表在某一个条件下，随机变量的复杂度（不确定度）。
条件熵表示在已知事件x的条件下，事件y的不确定性，即x发生的前提下，y发生的熵。定义为在给定条件下x，y的条件分布概率的熵对x的数学期望：
条件熵与联合熵的公式仅仅log对数项上不同。
条件熵与联合熵的关系：H(X|Y)=H(X,Y)-H(X)。即在x条件下，y的条件熵 = x,y的联合熵 - x的信息熵
信息增益比
信息增益 = 信息熵 - 条件熵
信息增益比 = （信息熵 - 条件熵 ）/结果数 （比如骰子有6个面，那么摇骰子的结果数就为6）
信息增益代表了在一个条件下，信息复杂度（不确定性）减少的程度
4.3.交叉熵(cross entropy)
交叉熵是一个用来比较两个概率分布p和q的度量公式。换句话说，交叉熵是衡量在真实分布下，使用非真实分布所制定的策略能够消除系统不确定性的大小。
如何正确理解上述这段描述呢？首先，观察交叉熵的公式，如下图所示：
其中，p(x)为事件的真实分布概率，q(x)为事件的非真实分布概率。
可以看到，与信息熵相比，唯一不同的是log里的概率由信息熵中的真实分布概率p(x)变成了非真实概率(假设分布概率)q(x)，即1-p(x)。也就是与信息熵相比，交叉熵计算的不是log(p)在p下的期望，而是log(q)在p下的期望。
同样地，交叉熵可也以推广到连续域。对于连续随机变量x和概率密度函数p(x)和假设分布概率密度函数q(x)， 交叉熵的定义如下：
所以，如果假设分布概率与真实分布概率一致，那么交叉熵 = 信息熵。
4.4.相对熵(Relative Entropy)
相对熵又称KL散度，KL距离。
相对熵衡量了当修改从先验分布p到后验分布q的信念后所带来的信息增益。换句话说，就是用后验分布 q 来近似先验分布 p 的时候造成的信息损失。再直白一点，就是衡量不同策略之间的差异性。
p(x),q(x)是离散随机变量X中取值的两个概率分布，则p对q的相对熵计算公式如下：
也可以使用：
其中H(p,q)代表策略p下的交叉熵，H(p)代表信息熵。所以，相对熵 = 某个策略的交叉熵-信息熵。
相对熵用来衡量 q拟合p的过程中产生的信息损耗，损耗越少，q拟合p也就越好。
需要注意的是，尽管从直觉上相对熵（KL散度）是个度量或距离函数， 但是它实际上并不是一个真正的度量或距离。因为KL散度不具有对称性：从分布P到Q的距离通常并不等于从Q到P的距离。 另外D(p||q)必然大于等于0
4.5.互信息(Mutual Information)
互信息用来表示两个变量X与Y之间是否有关系，以及关系的强弱。
用公式可以表示为：
通过公式的计算，可得变量X与Y的互信息就是信息熵H(X)与条件熵H(X|Y)的差： I(X,Y)=H(X)-H(X|Y)=H(X) + H(Y) - H(X,Y)
参考：
https://blog.youkuaiyun.com/qq_39521554/article/details/80559531
https://baijiahao.baidu.com/s?id=1615832462981347284&wfr=spider&for=pc
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