信息熵学习笔记

简介

在信息论中，熵（entropy）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵、信源熵、平均自信息量。
熵最好理解为不确定性的量度而不是确定性的量度，因为越随机的信源的熵越大。
比较不可能发生的事情，当它发生了，会提供更多的信息。
熵的单位通常为比特，但也用Sh、nat、Hart计量，取决于定义用到对数的底。

熵的概念最早起源于物理学，用于度量一个热力学系统的无序程度。在信息论里面，熵是对不确定性的测量。但是在信息世界，熵越高，则能传输越多的信息，熵越低，则意味着传输的信息越少。

英语文本数据流的熵比较低，因为英语很容易读懂，也就是说很容易被预测。即便我们不知道下一段英语文字是什么内容，但是我们能很容易地预测，比如，字母e总是比字母z多，或者qu字母组合的可能性总是超过q与任何其它字母的组合。如果未经压缩，一段英文文本的每个字母需要8个比特来编码，但是实际上英文文本的熵大概只有4.7比特。

消息的熵乘以消息的长度决定了消息可以携带多少信息。

熵的计算

如果有一枚理想的硬币，其出现正面和反面的机会相等，则抛硬币事件的熵等于其能够达到的最大值。我们无法知道下一个硬币抛掷的结果是什么，因此每一次抛硬币都是不可预测的。
因此，使用一枚正常硬币进行若干次抛掷，这个事件的熵是一比特，因为结果不外乎两个——正面或者反面，可以表示为0, 1编码，而且两个结果彼此之间相互独立。若进行n次独立实验，则熵为n，因为可以用长度为n的比特流表示。

但是如果一枚硬币的两面完全相同，那个这个系列抛硬币事件的熵等于零，因为结果能被准确预测。现实世界里，我们收集到的数据的熵介于上面两种情况之间。

定义

依据Boltzmann’s H-theorem，香农把随机变量X的熵值 Η（希腊字母Eta）定义如下，其值域为{x1, …, xn}：
$$\mathrm{H}(X)=\sum _i\mathrm{P}(x_i)\mathrm{I}(x_i)=-\sum _i\mathrm{P}(x_i){\log }_b\mathrm{P}(x_i)$$
其中，P为X的概率质量函数（probability mass function），E为期望函数，而I(X)是X的信息量（又称为自信息）。I(X)本身是个随机变数。

当取自有限的样本时，熵的公式可以表示为：

H ( X )