【考研复习】“概率密度”一词的理解

密度在没有接触概率论这门课之前，我的理解就是m/v，描述了在单位大小的空间内物体的量有多少。
但是在概率论中，概率密度和物理上的密度不是一回事，它的定义是这样的：

这段话看起来就像是说：“你对f(t)积个分，要是积出来和分布函数一样，这玩意就是概率密度了。”

我tm为啥要积分？你就直说概率密度是啥不行吗？

在经过一些题目和我自己的思考以后，我想用一个比较能令人接受的描述来说我的理解。
首先假设有一个长为L米的磁铁杆，记左端为O，右端为M，中间任取一点为P，因为P是任取的，所以OP可记为变量x，如图所示：

当x不同时，OP段的质量也不同，可用函数F(x)来表示OM段的质量：

显然，在x<2时，随着x的增加质量增加的很快，在x∈(2,L)时，随着x的增加质量增加的速度减缓。这是因为磁铁杆在不同点处的材质不可能完全相同，导致单位长度内的密度是不一样的，所以会出现这样的现象。可以对F(x)求导，进而描述磁铁杆的线密度。
现在把一把铁沙从空中随机的位置撒下，假设质量越大的地方磁力越强，那么铁沙集中在左侧的概率也就比较大。上面的F(x)就可以看做是铁沙位置小于x的概率，即分布函数，而概率密度就是F(x)求导，描述了随着随机变量X的变大，分布函数F(x)的变化率。

总结：概率密度是分布函数的导数，反过来说分布函数是概率密度的积分。概率密度描述了分布函数的增长速度，由于分布函数是单调非减的，所以概率密度总大于等于0。在磁铁杆的例子中，密度越大的地方，铁沙落点的概率越高，分布函数增长速度越快。