混合整数规划 (MIP, Mixed Integer Programming) 算法详解及案例分析

混合整数规划 (MIP, Mixed Integer Programming) 算法详解及案例分析

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1. 引言

混合整数规划（MIP, Mixed Integer Programming）是一种优化方法，其目标是在满足线性约束条件的情况下，优化一个线性目标函数，且部分或全部决策变量为整数。MIP 广泛应用于生产计划、物流优化、设施选址等领域。

本文将详细介绍混合整数规划的基本概念、主要方法、数学基础，并通过三个实际案例（生产计划优化、设施选址问题、旅行商问题）展示 MIP 的应用。每个案例均提供完整的 Python 实现代码，代码符合设计规范，算法封装为类或函数。

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2. 混合整数规划的基本概念

2.1 混合整数规划的定义

混合整数规划是一种优化问题，其目标是在满足线性约束条件的情况下，优化一个线性目标函数，且部分或全部决策变量为整数。MIP 的数学模型可以表示为：

min ⁡ x c T x subject to  A x ≤ b x i ∈ Z , i ∈ I \min_{x} \mathbf{c}^T \mathbf{x} \\ \text{subjec