混合整数线性规划——分支限界法

当上一节讲到的线性规划问题中，要求某些变量是整数的时候，就变成了混合整数线性规划问题。

其实对于某些问题来说，线性规划问题的最优解刚好是整数，那么它对应的混合整数线性规划问题的解就刚好是这个最优解了。因此分支限界法的思路是，

1. 将原混合整数线性规划问题改进为行的松弛问题，不断地用单纯形法求解

2. 通过增加约束来进行分支求解

3. 直到整数最优解出现在新的改进后的松弛问题的一个顶点。

 

例如对于以下问题，

\[\begin{array}{*{20}{l}}
{\max 3x + y + 3z}\\
{2x + 2y + z \le 30}\\
{1.5x + 2y + 3z \le 25}\\
{2x + y + z \le 20}\\
{x \ge 0,y \ge 0,z \ge 0,}
\end{array}\]

最优解obj=36.6667，x=7.7778，y=0，z=4.4444，怎么求它的整数最优解呢？

针对该线性松弛问题得到的最优解，选取非整数解的整数变量x，将原线性松弛问题分成两个子问题，其中一个子问题加上x≤7的约束，另一个子问题加上x≥8的约束。

针对x≤7的这个子问题，求得最优解为obj=35.5，x=7，y=0，z=4.8333。选取非整数解的整数变量z，将该问题拆成z≤4和z≥5的两个子问题。

针对z≤4的这个子问题，求得最优解为obj=34.25，x=7，y=1.25，z=4。选取非整数解的整数变量y，将该问题拆成y≤1和z≥2的两个子问题。

针对y≤1的这个子问题，求得最优解为obj=34，x=7，y=1，z=4。