机器学习入门 --- 贝叶斯算法

贝叶斯算法概述

贝叶斯要解决的问题：

正向概率：假设袋子里面有N个白球，M个黑球，伸手进去摸球，摸出黑球的概率是多大

逆向概率：如果我们事先并不知道袋子里面黑白球的比例，而是闭着眼睛摸出一个（或好几个）球，观察这些取出来的球的颜色之后，那么我们可以就此对袋子里面的黑白球的比例作出什么样的推测

例子：

条件：在一个学校中，男生占60%，女生占40%，男生总是穿长裤，女生则一半穿长裤一半穿裙子

问题：

正向概率：随机选取一个学生，他（她）穿长裤的概率和穿裙子的概率是多大

逆向概率：迎面走来一个穿长裤的学生，只看得见他（她）穿的是否长裤，而无法确定他（她）的性别，能够推断出他（她）是女生的概率是多大吗？

假设学校里面人的总数是 U 个

穿长裤的男生：$U\ast P(Boy)\ast P(Pants|Boy)$

• $P(Boy)$ 是男生的概率，为 60%
• $P(Pants|Boy)$ 是条件概率，即在 $Boy$ 条件下，穿长裤的概率是多大，为100%

穿长裤的女生：$U\ast P(Girl)\ast P(Pants|Girl)$

• $P(Girl)$ 是女生的概率，为 40%
• $P(Pants|Girl)$ 是条件概率，即在 $Girl$ 条件下，穿长裤的概率是多大，为50%

求解：穿长裤的人里面有多少女生？

穿长裤总人数：$$U\ast P(Boy)\ast P(Pants|Boy)+U\ast P(Girl)\ast P(Pants|Girl)$$

穿长裤的人里面女生人数：
$$\begin{array}{rl}P(Girl|Pants)& =\frac{U\ast P(Girl)\ast P(Pants|Girl)}{穿长裤总人数}\\ P(Girl|Pants)& =\frac{U\ast P(Girl)\ast P(Pants|Girl)}{U\ast P(Boy)\ast P(Pants|Boy)+U\ast P(Girl)\ast P(Pants|Girl)}\\ P(Girl|Pants)& =\frac{P(Girl)\ast P(Pants|Girl)}{P(Boy)\ast P(Pants|Boy)+P(Girl)\ast P(Pants|Girl)}\\ P(Girl|Pants)& =\frac{P(Girl)\ast P(Pants|Girl)}{P(Pants)}\end{array}$$

贝叶斯公式

$$P(A|B)=\frac{P(A)\ast P(B|A)}{P(B)}$$

实例

拼写纠正实例：
问题：检测到用户输入了一个不在字典中的单词，我们需要去猜
测：“用户到底真正想输入的单词是什么呢？

P(我们猜测他想输入的单词 | 他实际输入的单词)

用户实际输入的单词记为 D （ D 代表 Data ，即观测数据）

猜测1：$P(h_1|D)$
猜测2：$P(h_2|D)$
猜测3：$P(h_3|D)$…
这里我们统一为：P(h | D)
$$P(h|D)=\frac{P(h)\ast P(D|h)}{P(D)}$$

对于不同的具体猜测 $h_1,h_2,h_3...$ ，$P(D)$ 都是一样的，所以在比较
$P(h_1|D)$ 和 $P(h_2|D)$ 的时候我们可以忽略这个常数

所以他们之间成正比例关系：

$P(h|D)\propto P(h)\ast P(D|h)$

对于给定观测数据，一个猜测是好是坏，取决于“这个猜测本身独
立的可能性大小（先验概率）”和“这个猜测生成我们观测
到的数据的可能性大小。

贝叶斯方法计算： $P(h)\ast P(D|h)$，$P(h)$ 是特定猜测的先验概率

在计算完各个猜测的概率，进行比较再给出一个最终结果

垃圾邮件过滤实例：

问题：给定一封邮件，判定它是否属于垃圾邮件

D 来表示这封邮件，注意 D 由 N 个单词组成，我们用 h+ 来表示垃圾邮件，h- 表示正常邮件
$$\begin{gathered} P(h+|D)=\frac{P(h+)\ast P(D|h+)}{P(D)} \\ P(h-|D)=\frac{P(h-)\ast P(D|h-)}{P(D)} \end{gathered}$$

先验概率：$P(h+)$ 和 $P(h-)$ 这两个先验概率都是很容易求出来的，只
需要计算一个邮件库里面垃圾邮件和正常邮件的比例就可以

假设 D 里面有 N 个单词 $d_1,d_2,d_3,...,d_n$，$P(D|h+)=P(d_1,d_2,..,d_n|h+)$，$P(d_1,d_2,..,d_n|h+)$ 就是说在垃圾邮件当中出现跟 D 这封邮件一模一样的一封邮件的概率是多大

$P(d_1,d_2,..,d_n|h+)$ 可扩展为： $P(d_1|h+)\ast P(d_2|d_1|h+)\ast P(d_3|d_2|d_1|h+)\ast ...\ast P(d_n|d_{n-1}|...|d_3|d_2|d_1|h+)$

展开公式中，每一个词的累加导致很难计算，这里使用朴素贝叶斯理论，假设特征之间是独立、互不影响的，可化简为：$P(d_1|h+)\ast P(d_2|h+)\ast P(d_3|h+)\ast ...\ast P(d_n|h+)$ ，只要统计到 $d_i$ 这些单词在垃圾邮件中出现的概率即可

再对 $d_i$ 这些单词做在正常邮件中的概率统计 $P(d_1|h-)\ast P(d_2|h-)\ast P(d_3|h-)\ast ...\ast P(d_n|h-)$
$$\begin{gathered} P(h+|D)=\frac{P(h+)\ast P(D|h+)}{P(D)} \\ P(h-|D)=\frac{P(h-)\ast P(D|h-)}{P(D)} \end{gathered}$$
最后计算出 $P(h\ast |D)$，进行比较判断是否为垃圾邮件

代码实现拼写纠正

求解：$argmaxcP(c|w)->argmaxcP(w|c)P(c)/P(w)$

• $P(c)$, 文章中出现一个正确拼写词 c 的概率, 也就是说, 在英语文章中, c 出现的概率有多大
• $P(w|c)$, 在用户想键入 c 的情况下敲成 w 的概率. 因为这个是代表用户会以多大的概率把 c 敲错成 w
• $argmaxc$, 用来枚举所有可能的 c 并且选取概率最大的

先验概率

# 把语料中的单词全部抽取出来, 转成小写, 并且去除单词中间的特殊符号
def words(text): return re.findall('[a-z]+', text.lower()) 

def train(features):
    model = collections.defaultdict(lambda: 1)
    for f in features:
        model[f] += 1
    return model
 
NWORDS = train(words(open('big.txt').read()))

按照原逻辑，只要是传进来一个词，就要返回出现这个词的原概率，但是如果传进来一个从来没有过见过的新词，返回的这个词的先验概率就是0了，这个情况不太妙, 因为概率为0这个代表了这个事件绝对不可能发生, 而在我们的概率模型中, 我们期望用一个很小的概率来代表这种情况. lambda: 1

编辑距离

两个词之间的编辑距离定义为使用了几次插入(在词中插入一个单字母)、删除(删除一个单字母)、交换(交换相邻两个字母)、替换(把一个字母换成另一个)的操作从一个词变到另一个词

编辑距离为 1：

#返回所有与单词 w 编辑距离为 1 的集合
def edits1(word):
    n = len(word)
    return set([word[0:i]+word[i+1:] for i in range(n)] +                     # deletion
               [word[0:i]+word[i+1]+word[i]+word[i+2:] for i in range(n-1)] + # transposition
               [word[0:i]+c+word[i+1:] for i in range(n) for c in alphabet] + # alteration
               [word[0:i]+c+word[i:] for i in range(n+1) for c in alphabet])  # insertion

编辑距离为 2：
在 edits1() 的基础上再做一次循环

#返回所有与单词 w 编辑距离为 2 的集合
#在这些编辑距离小于2的词中间, 只把那些正确的词作为候选词
def edits2(word):
    return set(e2 for e1 in edits1(word) for e2 in edits1(e1))

这种编辑距离的方法，在对长单词的计算会非常大量，比如 something 编辑距离为2的单词居然达到了 114,324 个，所以还需要进行一个优化，在这些编辑距离小于2的词中间, 只把那些正确的词作为候选词,只能返回 4 个单词:
{‘seething’, ‘smoothing’, ‘something’, ‘soothing’}

正常来说把一个元音拼成另一个的概率要大于辅音 (因为人常常把 hello 打成 hallo 这样); 把单词的第一个字母拼错的概率会相对小, 等等

但是为了简单起见, 选择了一个简单的方法: 编辑距离为1的正确单词比编辑距离为2的优先级高, 而编辑距离为0的正确单词优先级比编辑距离为1的高

# 优化:在这些编辑距离小于2的词中间, 只把那些正确的词作为候选词
def known(words): return set(w for w in words if w in NWORDS)

#如果known(set)非空, candidate 就会选取这个集合, 而不继续计算后面的
def correct(word):
    candidates = known([word]) or known(edits1(word)) or known_edits2(word) or [word]
    return max(candidates, key=lambda w: NWORDS[w])

测试

correct('appla')

'apply'

correct('learw')

'learn'