连续子数组的最大和

本文探讨了一道经典的计算机科学问题:在一维数组中寻找最大连续子序列的和。通过分析问题背景及特点,给出了两种解决方案:一种是通过构建二维数组进行动态规划,另一种则是更为简洁高效的O(n)动态规划方法。

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题目描述
HZ偶尔会拿些专业问题来忽悠那些非计算机专业的同学。今天测试组开完会后,他又发话了:在古老的一维模式识别中,常常需要计算连续子向量的最大和,当向量全为正数的时候,问题很好解决。但是,如果向量中包含负数,是否应该包含某个负数,并期望旁边的正数会弥补它呢?例如:{6,-3,-2,7,-15,1,2,2},连续子向量的最大和为8(从第0个开始,到第3个为止)。给一个数组,返回它的最大连续子序列的和,你会不会被他忽悠住?(子向量的长度至少是1)

分析
此题我的第一感觉就是用动态规划 (也确实有),早早地设置好了二维数组,然后准备找最优子结构。因为要和当前元素产生关系,那么我的想法是以当前元素作为最后一个元素的连续子数组的最大值, p[i][j] = max(p[i][j-1]+array[i], p[i+1][j]+array[i]), 但这样是不对的,于是我放弃这种动态规划,用了比较笨的方法,即用 O(n^2) 计算所有连续子数组的和,并找出其中的最大值(这其实也勉强算是一种动态规划吧 ^_^)。
代码如下:

int FindGreatestSumOfSubArray(vector<int> array) {
	int len = array.size();
	int **p = new int*[len + 1]; //10 个指针数组
	for (int i = 0; i < len + 1; ++i) {
		p[i] = new int[len + 1];
	}
	// 初始化,不初始化不为 0
	for (int i = 0; i < len + 1; ++i) {
		for (int j = 0; j < len + 1; ++j) {
			p[i][j] = 0;
		}
	}
	int Max = array[0];
	// 初始化 P[i][i] 并设置单个元素的最大值
	for (int i = 0; i < len; ++i) {
		p[i][i] = array[i];
		if (p[i][i] > Max) {
			Max = p[i][i];
		}
	}
	
	
	for (int i = 0; i < len - 1; ++i) {
		for (int j = i + 1; j < len; ++j) {
			p[i][j] = p[i][j - 1] + array[j];
			if (p[i][j] > Max) {
				Max = p[i][j];
			}
		}
	}
	return Max;
}

后来看了牛客网上的代码,发现我的代码写得是真烂,首先根本就不用建立二维数组,只需顶一个整数值 sum 代替 p[i][j] 即可。
其次,确实有更简单的动态规划的做法,且时间只要 O(n) 。
方法:设 p[i] 为以 array[i] 为最后一个元素的连续子数组的最大值,已知 p[i-1] 为以 array[i-1] 为最后一个元素的连续子数组的最大值,那么 p[i] = max(p[i-1] + array[i], array[i]) 。之所以这样是因为 array[i] 必须为最后一个元素。然后再将 p[i] 和 已经得到的最大值进行比较,并进行更新。

代码就不写了。知道方法的话写起来应该蛮简单。

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